# От собственных векторов до «хоккейной клюшки»: как математика MIT управляет финансами

Источник: https://www.youtube.com/watch?v=mtXTs2U1uMA
Канал: MIT OpenCourseWare
Опубликовано: 03.12.2025

---

В четвертой лекции курса MIT, посвященного математическим методам в финансах, профессор Питер Кемпторн (Peter Kempthorne) завершает обзор ключевых концепций линейной алгебры и переходит к фундаментальным основам теории вероятностей. Основное внимание уделяется практическому применению абстрактных математических структур — от разложения матриц до моделирования доходности портфелей и оценки опционов.

## 📐 Линейная алгебра: от собственных векторов до SVD
[[JUMP:0:12]]

Профессор Кемпторн начал занятие с обсуждения собственных значений (eigenvalues) и собственных векторов (eigenvectors), которые играют критическую роль в упрощении матричных вычислений [0:39]. Когда матрица $A$ умножается на свой собственный вектор $v$, результатом является просто масштабирование этого же вектора на величину $\lambda$ ($Av = \lambda v$). Это свойство позволяет решать сложные системы уравнений через поиск корней детерминанта матрицы $(A - I\lambda)$ [1:46].

Ключевые выводы по теме:

*   **Диагонализация:** Если у матрицы $A$ есть линейно независимые собственные векторы, ее можно представить в виде $A = S\Lambda S^{-1}$, где $\Lambda$ — диагональная матрица собственных значений [4:10].
*   **Динамика систем:** В фильтрах Калмана (Kalman filters) состояние системы в момент времени $t$ часто определяется $t$-й степенью матрицы перехода $A$. Если все собственные значения по модулю меньше единицы, система стремится к нулевому состоянию; если одно из них равно единице — к стабильному предельному значению [6:13].
*   **Сингулярное разложение (SVD):** Кемпторн называет SVD одним из важнейших результатов линейной алгебры [11:13]. Любая матрица $A$ (даже не квадратная) может быть разложена на $U\Sigma V^T$. В контексте анализа данных это позволяет:
    *   Преобразовывать координаты через ортогональные матрицы $U$ и $V$.
    *   Растягивать или сжимать оси с помощью диагональной матрицы $\Sigma$ [12:37].
    *   Снижать размерность данных, выделяя подпространства ранга 2 или 3, где сосредоточена основная вариативность [16:56].

В завершение блока линейной алгебры была упомянута теорема Перрона — Фробениуса [18:11]. Она утверждает, что для квадратной матрицы с положительными элементами существует единственное максимальное по модулю вещественное собственное значение, которому соответствует вектор с положительными компонентами. Это свойство широко используется в финансовых моделях и анализе сетей [19:10].

## 📈 Практика в R: портфели и проблема ребалансировки
[[JUMP:20:23]]

Переходя к практике, лектор продемонстрировал возможности среды RStudio Cloud для анализа рыночных данных [21:21]. Студентам предлагается использовать готовые скрипты для загрузки цен акций через Yahoo Finance и анализа портфелей из индекса S&P 500 [23:06].

В качестве примера был рассмотрен равновесный портфель (equal-weighted portfolio), в который в начале 2019 года было инвестировано $1000 [23:47]. Кемпторн сравнил общую динамику S&P 500 с портфелем из четырех «горячих» акций того времени: Apple, Amazon, Netflix и Google [24:14].

Анализ выявил важные аспекты управления активами:

*   **Концентрация рисков:** Со временем Apple росла значительно быстрее остальных, что привело к увеличению ее доли в портфеле и снижению диверсификации [25:55].
*   **Частота ребалансировки:** По мнению профессора, слишком частая (ежедневная) ребалансировка может быть контрпродуктивной. Она заставляет инвестора забирать средства у «победителей» и отдавать их «проигравшим», что мешает извлекать выгоду из краткосрочных трендов [27:22]. (Контраргумент: отсутствие ребалансировки ведет к неконтролируемому росту риска портфеля.)

## 🎲 Теория вероятностей: от дискретных событий к непрерывным моделям
[[JUMP:28:26]]

Вторая часть лекции была посвящена обзору вероятностных концепций. Кемпторн разделил случайные величины на дискретные (например, дефолт контрагента или решение ФРС по ставке) и непрерывные (цена актива, время ожидания ордера) [30:14].

Важные теоретические моменты:

1.  **Кумулятивная функция распределения (CDF):** Уникально определяет распределение и всегда находится в диапазоне от 0 до 1 [32:13].
2.  **Вероятностное интегральное преобразование:** Профессор привел любопытный факт: если применить CDF к самой случайной величине ($y = F(x)$), то результат всегда будет иметь равномерное распределение на отрезке [0, 1] [33:36]. Это свойство незаменимо для проверки адекватности моделей данным.
3.  **Моменты распределения:**
    *   **Математическое ожидание и дисперсия:** Стандартные меры центральной тенденции и разброса.
    *   **Асимметрия (Skewness):** Показывает смещение распределения. Для нормального распределения она равна 0 [38:44].
    *   **Куртозис (Kurtosis):** Мера «тяжести хвостов». У нормального распределения куртозис равен 3 [38:32]. В финансах часто встречаются распределения с «тяжелыми хвостами», что означает более высокую вероятность экстремальных событий.

## 📉 Нормальное и логнормальное распределения в финансах
[[JUMP:39:01]]

Гауссовская (нормальная) кривая — база для многих моделей. Кемпторн напомнил правило «трех сигм»: 68% значений лежат в пределах одного стандартного отклонения, 95% — в пределах двух, и 99,7% — в пределах трех [40:41].

Однако для цен активов нормальное распределение не всегда подходит, так как цена не может быть отрицательной. Поэтому в финансах чаще используют логнормальное распределение [41:51]. Если логарифм цены распределен нормально, то сама цена — логнормально. Это распределение асимметрично и ограничено снизу нулем [42:18]. Профессор отметил, что логнормальность тесно связана с броуновским движением — процессом, который будет подробно изучен в следующих лекциях [43:16].

## 🏒 Математика опционов: «хоккейная клюшка»
[[JUMP:49:48]]

Одним из наиболее наглядных применений теории вероятностей является оценка колл-опционов. Выплата по такому опциону в момент экспирации описывается функцией $max(X - K, 0)$, где $X$ — цена актива, а $K$ — цена страйк [50:14]. Эту форму графика часто называют «хоккейной клюшкой» (hockey stick payoff) [50:58].

Математическое ожидание такой выплаты можно вычислить как интеграл от функции $1 - F(x)$ (где $F$ — CDF цены актива) в пределах от цены страйк до бесконечности [51:37]. Кемпторн подчеркнул: выбор модели распределения (нормальное или логнормальное) радикально меняет расчетную цену опциона [53:22].

## 🧬 Производящие функции и PCA
[[JUMP:53:36]]

Для глубокого анализа распределений используются производящие функции моментов (MGF), определяемые как $E[e^{tx}]$ [54:07]. Несмотря на техническую сложность, они крайне полезны: если MGF двух величин совпадают, то и их распределения идентичны [57:14].

В случаях, когда MGF не существует (например, для распределения Коши с его бесконечными моментами), математики используют характеристические функции с комплексными числами ($e^{itx}$), которые существуют всегда [56:13].

В финале лекции был заложен фундамент для метода главных компонент (PCA) [1:14:16]:

*   Ковариационная матрица доходностей является симметричной и положительно полуопределенной [1:15:41].
*   Ее собственные значения всегда неотрицательны.
*   PCA позволяет трансформировать исходный набор коррелированных активов в новые, некоррелированные переменные (главные компоненты) [1:19:38].
*   В финансах это основа многофакторных моделей, позволяющая описать сложное движение рынка всего несколькими ключевыми факторами [1:21:00].

---