# Канал Veritasium объяснил, почему идеальные выборы математически невозможны

Источник: https://www.youtube.com/watch?v=qf7ws2DF-zk
Канал: Veritasium
Опубликовано: 27.08.2024

---

В современном мире демократия воспринимается как естественный и справедливый способ управления обществом. Однако с математической точки зрения методы, с помощью которых мы выбираем своих лидеров, глубоко несовершенны и иррациональны. Научно-популярный канал Veritasium объясняет, как группа математиков и экономистов доказала фундаментальную невозможность создания идеальной избирательной системы и почему за это открытие была присуждена Нобелевская премия.

## 🗳️ Ловушка простого большинства: почему классические выборы не работают
[[JUMP:00:00]]

Большинство демократических стран мира используют простейшую форму голосования, известную как мажоритарная система относительного большинства (в англоязычной традиции — *first-past-the-post*) [00:40]. Правила её предельно просты: каждый избиратель ставит отметку напротив одного кандидата, а победителем признается тот, кто набрал больше всего голосов [00:54]. Эта система уходит корнями в глубокую древность: в палате общин Великобритании она применяется с XIV века [01:07]. Сегодня по такой системе выбирают лидеров в 44 странах мира, большинство из которых — бывшие британские колонии, включая США [01:20].

Однако мажоритарная система таит в себе две фундаментальные проблемы, которые ставят под сомнение её справедливость.

Во-первых, она регулярно позволяет побеждать кандидатам, которых не поддерживает абсолютное большинство населения [01:35]. По данным Veritasium, за последние 100 лет в парламенте Великобритании 21 раз складывалась ситуация, когда одна партия получала абсолютное большинство мест [01:47]. Но лишь в двух из этих случаев за победившую партию действительно проголосовало большинство избирателей в стране [01:59]. Таким образом, абсолютную власть в правительстве получает партия, поддержанная явным меньшинством граждан.

Во-вторых, в этой системе возникает разрушительный «эффект спойлера», когда близкие по взглядам кандидаты отбирают голоса друг у друга [02:13]. Ярким историческим примером этого стали президентские выборы в США в 2000 году, где основная борьба развернулась между Альбертом Гором и Джорджем Бушем-младшим [02:13]. 

Исход выборов решался в штате Флорида, где Буш победил с ничтожным перевесом — менее чем в 600 голосов [02:27]. В то же время на выборах баллотировался кандидат от «Зелёных» Ральф Нейдер, занимавший гораздо более левые позиции, чем Гор или Буш [02:41]. Нейдер набрал во Флориде около 100 000 голосов [02:53]. По мнению автора Veritasium, подавляющее большинство избирателей Нейдера предпочли бы видеть президентом Гора, а не Буша, но мажоритарная система не позволила им выразить это предпочтение [03:18]. В результате голоса за Нейдера фактически привели к победе Буша, что деморализовало левый электорат [03:18].

Из-за эффекта спойлера избиратели вынуждены голосовать стратегически, выбирая не любимого кандидата, а меньшее из зол [03:30]. Это неизбежно ведёт к концентрации власти у крупнейших политических сил. В политологии эта закономерность известна как закон Дюверже: мажоритарная система выборов в один тур практически всегда приводит к формированию двухпартийной системы [03:57].

## 🔄 Преференциальное голосование: «эффект Кумбая» и скрытая немонотонность
[[JUMP:03:57]]

Чтобы избежать ловушек классического голосования, теоретики предложили систему преференциального голосования (также известную как альтернативное голосование или *ranked-choice voting*) [04:50]. Вместо выбора одного кандидата избиратель ранжирует их в бюллетене от самого предпочтительного к наименее желаемому [04:50]. 

Если никто не набирает более 50% первых мест при первичном подсчете, запускается процесс исключения: кандидат с наименьшим числом голосов отсеивается, а его бюллетени перераспределяются в соответствии со вторыми предпочтениями избирателей [05:03]. Этот процесс повторяется до тех пор, пока один из кандидатов не наберет абсолютное большинство [05:16].

Такой подход кардинально меняет поведение политиков. В качестве примера Veritasium приводит выборы мэра Миннеаполиса в 2013 году, где использовалось преференциальное голосование [05:31]. На пост претендовали сразу 35 кандидатов [05:44]. Вместо привычных взаимных нападок и агрессивной критики кандидаты вели себя подчеркнуто вежливо и дружелюбно [05:57]. В конце финальных дебатов они даже хором спели знаменитую примиряющую песню «Kumbaya» [06:13]. Кандидаты понимали, что для победы им жизненно необходимы вторые и третьи голоса сторонников своих оппонентов, поэтому они стремились понравиться абсолютно всем [06:43].

Тем не менее, преференциальное голосование страдает от другого математического дефекта — нарушения принципа монотонности [06:56]. Это ситуация, при которой ухудшение позиций кандидата среди избирателей может внезапно помочь ему выиграть выборы (или наоборот, улучшение позиций может лишить победы) [06:56].

Автор канала Veritasium иллюстрирует этот парадокс на примере гипотетических выборов с тремя кандидатами: Альбертом Эйнштейном, Марией Кюри и Нильсом Бором [07:09]. 

Представим первый сценарий голосования:

*   Альберт Эйнштейн получает 25% первых мест;
*   Мария Кюри (центристский кандидат) получает 30% голосов;
*   Нильс Бор получает 45% голосов [07:09].

Поскольку никто не набрал 50%, Эйнштейн как самый непопулярный кандидат выбывает [07:21]. Избиратели, голосовавшие за Эйнштейна, в качестве второго предпочтения указали Кюри. В результате Кюри получает их голоса и побеждает Бора во втором туре с общим счетом 55% против 45% [07:21].

Теперь представим второй сценарий: Бор проводит крайне неудачную кампанию, из-за чего часть его сторонников решает отдать первые места Эйнштейну [07:35]. Казалось бы, позиции Бора ослабли. Но посмотрим на новые результаты:

*   Эйнштейн теперь набирает больше голосов и обходит Кюри;
*   Кюри оказывается на последнем месте с минимальным результатом и выбывает из гонки [07:49];
*   Голоса умеренных сторонников Кюри распределяются поровну между Эйнштейном и Бором [07:49].

В итоге Бор побеждает во втором туре [08:02]. Получилась парадоксальная ситуация: ухудшение результатов Бора в первом раунде напрямую привело к его итоговой победе на выборах [08:02]. 

## 🏛️ Исторический поиск справедливости: Борда против Кондорсе
[[JUMP:08:02]]

Первые строгие попытки применить математику и логику к анализу голосования начались в эпоху Просвещения и Французской революции, что сделало ученых того времени основателями теории общественного выбора [08:14].

В 1784 году французский физик и математик Жан-Шарль де Борда предложил систему, позже названную «методом Борда» [08:39]. В ней избиратели ранжируют кандидатов, и за каждое место начисляется определенное количество баллов (например, 4 балла за первое место, 3 за второе и так далее) [08:52]. Побеждает тот, кто суммарно наберет больше всего очков.

Однако у метода Борда обнаружился критический изъян: итоговый результат сильно зависит от количества кандидатов в списке [09:05]. Появление в бюллетене заведомо непроходного «технического» кандидата может кардинально изменить распределение очков между лидерами и поменять победителя.

Современник Борда, философ и математик маркиз де Кондорсе, жестко критиковал этот метод за зависимость от иррациональных факторов [09:17]. В 1785 году Кондорсе опубликовал эссе, в котором предложил альтернативу: справедливым победителем выборов должен признаваться тот кандидат, который побеждает любого другого соперника в гипотетическом поединке «один на один» (тет-а-тет) [09:30]. Этот принцип сегодня называют «победителем по Кондорсе». 

*Интересный исторический факт:* за 450 лет до Кондорсе аналогичную систему описал каталонский монах и философ Раймонд Луллий в своем трактате *Ars Electionis* («Искусство выборов») [09:55]. К сожалению, его труды были утеряны и вновь открыты учеными только в 2001 году, поэтому метод носит имя Кондорсе, а не Луллия [10:11].

Но и метод Кондорсе столкнулся с непреодолимым математическим тупиком, получившим название «парадокс Кондорсе» [11:04]. Представим компанию из трех друзей, выбирающих меню на ужин между бургерами, пиццей и суши [10:24]. Предпочтения друзей распределились следующим образом:

*   Первый друг: Бургеры > Пицца > Суши [10:24];
*   Второй друг: Пицца > Суши > Бургеры [10:39];
*   Третий друг: Суши > Бургеры > Пицца [10:39].

Если провести попарное голосование, то выяснится, что большинство (два человека из трех) предпочитают бургеры пицце [10:51]. В то же время большинство предпочитает пиццу суши, и точно так же большинство отдает предпочтение суши перед бургерами [11:04]. Общественный выбор замыкается в бесконечную логическую петлю (Бургеры > Пицца > Суши > Бургеры...) [11:04]. В этой ситуации невозможно определить волю большинства, поскольку любое решение будет противоречить выбору двух третей группы.

Сам Кондорсе не успел разрешить этот парадокс. Будучи активным деятелем Французской революции и автором проекта конституции 1793 года, он подверг критике конституцию якобинцев, после чего был объявлен предателем, арестован и в 1794 году скончался в тюремной камере [11:33]. В последующие полтора века многие математики, включая автора «Алисы в Стране чудес» Льюиса Кэрролла (Чарльза Доджсона), безуспешно пытались модифицировать методы Кондорсе и Борда, чтобы обойти возникающие парадоксы [11:49].

## ⚡ Теорема невозможности Эрроу: математический приговор демократии
[[JUMP:12:28]]

Окончательную точку в многовековых спорах поставил американский экономист Кеннет Эрроу. В своей докторской диссертации 1951 года он сформулировал пять очевидных, разумных и минимально необходимых условий, которыми должна обладать любая справедливая избирательная система [12:28]:

1.  **Единогласие (Unanimity):** если абсолютно каждый избиратель в группе предпочитает кандидата А кандидату Б, то и в итоговом общественном выборе кандидат А должен стоять выше кандидата Б [12:41].
2.  **Отсутствие диктатора (Non-dictatorship):** решение группы не должно полностью подчиняться мнению одного-единственного человека. Если один голос всегда определяет исход выборов вопреки воле всех остальных — это диктатура, а не демократия [12:55].
3.  **Универсальность (Unrestricted domain):** избиратели имеют право ранжировать кандидатов любым мыслимым образом, и система обязана выдавать четкий и однозначный результат при любом раскладе голосов [13:08].
4.  **Транзитивность (Transitivity):** если общество в целом предпочитает кандидата А кандидату Б, а кандидата Б — кандидату В, то общество должно предпочитать кандидата А кандидату В [13:35].
5.  **Независимость от посторонних альтернатив (Independence of Irrelevant Alternatives):** если общество предпочитает кандидата А кандидату Б, то появление третьего кандидата В не должно менять взаимное расположение А и Б в итоговом рейтинге [13:48].

Математический триумф и одновременно трагедия Эрроу заключались в том, что он строго доказал: создать ранговую систему выборов с тремя и более кандидатами, которая одновременно удовлетворяла бы всем пяти условиям, математически невозможно [14:01]. Одно из условий неизбежно придется нарушить. Данное доказательство вошло в историю как теорема невозможности Эрроу и принесло автору Нобелевскую премию по экономике в 1972 году [14:14].

## 🧮 Доказательство: как рождается неизбежный диктатор
[[JUMP:14:14]]

Чтобы наглядно понять суть теоремы, Veritasium приводит лаконичную версию доказательства Эрроу, сформулированную математиком Джоном Геанакоплосом [14:28].

Представим общество из $N$ избирателей, которые голосуют за трех кандидатов: А, Б и В [14:28]. 

Сначала докажем лемму: если каждый отдельный избиратель ставит кандидата Б строго на первое либо строго на последнее место в своем списке, то и все общество в целом обязано поставить Б либо на первое, либо на последнее место [14:57].

Докажем это от противного. Предположим, что общество поместило Б посередине (то есть А выше Б, а Б выше В) [15:11]. Если теперь каждый избиратель переместит кандидата В выше А в своем личном бюллетене, то по правилу единогласия в общественном рейтинге В также должен подняться выше А [15:26]. 

Однако обратите внимание: мы перемещали только А и В, не меняя положения Б. Для каждого избирателя Б по-прежнему остался на экстремальной позиции (либо в самом верху, либо в самом низу). Значит, относительное положение А и Б, а также В и Б для каждого человека не изменилось. По правилу независимости от посторонних альтернатив отношение общества к Б должно остаться прежним: А выше Б, а Б выше В [15:54].

Из транзитивности следует: если А выше Б, а Б выше В, то А должно быть выше В. Но это прямо противоречит нашему выводу о том, что В должно быть выше А. Мы получили математическое противоречие. Следовательно, лемма доказана: общество обязано поместить кандидата Б либо в самый верх, либо в самый низ [16:08].

Теперь проведем мысленный эксперимент:

*   **Профиль 0:** все избиратели ставят кандидата Б в самый низ своих списков. Соответственно, в общественном рейтинге Б также оказывается на последнем месте [16:23].
*   **Шаг за шагом:** мы просим избирателей по очереди переносить Б с последнего места на первое. Первый избиратель переносит Б наверх. Затем второй, третий и так далее [16:35].
*   В какой-то момент должен наступить перелом. Должен найтись конкретный избиратель (назовем его *решающим избирателем*), чей голос изменит коллективное решение, и кандидат Б внезапно переместится с последнего места на первое в общественном рейтинге [17:01].

Если детально проанализировать ситуацию в момент этого перехода, выяснится поразительный факт: этот решающий избиратель полностью диктует волю общества [17:52]. Как бы ни голосовали остальные граждане, итоговое коллективное решение относительно кандидатов А и В будет в точности совпадать с личным выбором этого конкретного человека [18:05]. Любая попытка математически агрегировать голоса при соблюдении базовых правил справедливости неизбежно приводит к появлению скрытого «диктатора» [18:32].

## 🌟 Спасение системы: теорема Блэка и рейтинговое голосование
[[JUMP:18:46]]

Означает ли теорема Эрроу, что демократия обречена на провал? Как утверждает ведущий канала Veritasium, в реальности все не так мрачно [18:46]. 

Математик Данкан Блэк сформулировал гораздо более оптимистичную теорему о медианном избирателе [19:12]. Если политические предпочтения общества и кандидатов можно наглядно расположить вдоль одной оси координат (например, от крайне левых/либеральных до крайне правых/консервативных), то парадоксы Эрроу и Кондорсе исчезают [19:12]. В этом одномерном политическом пространстве выбор медианного (находящегося ровно посередине) избирателя всегда отражает реальное мнение большинства, обеспечивая стабильность системы [19:25].

Кроме того, существует важнейшая лазейка: теорема Эрроу применима исключительно к *ранговым* (ординальным) избирательным системам, где кандидатов нужно расставлять по местам [19:40]. Но существуют и *рейтинговые* (кардинальные) системы голосования [19:53].

Простейшим примером такой системы является одобрительное голосование (approval voting) [19:53]. Вместо ранжирования избиратель просто отмечает галочками всех кандидатов, которых он считает приемлемыми на данном посту [19:53]. Можно проголосовать как за одного человека, так и за двух, трех или вообще за всех сразу. Существуют и более детальные варианты, где каждому кандидату выставляется оценка по шкале (например, от -10 до +10) [20:06].

Рейтинговые системы обладают целым рядом доказанных преимуществ:

*   Они полностью исключают «эффект спойлера» [20:18];
*   Избирателям больше не нужно голосовать стратегически — они могут открыто одобрять малые партии без страха потерять свой голос [20:18];
*   Кандидатам становится невыгодно вести грязную кампанию против оппонентов, ведь им важно получить одобрение и от их электората [20:18];
*   Результаты выборов легко и прозрачно подсчитываются — побеждает тот, кто набрал наибольший совокупный процент одобрения [20:18].

Одобрительное голосование имеет глубокие исторические корни. По данным Veritasium, именно так кардиналы в Ватикане выбирали Папу Римского в период с 1294 по 1621 год [20:47]. Сегодня этот метод применяется при выборах Генерального секретаря ООН [20:47]. Примечательно, что сам Кеннет Эрроу к концу своей жизни согласился с тем, что рейтинговое голосование, вероятно, является наилучшим практическим методом проведения выборов [20:47].

По мнению ведущего Veritasium, использование архаичной мажоритарной системы в XXI веке выглядит нелепо, учитывая все её научно доказанные изъяны [21:01]. И хотя математически безупречных выборов не существует, человечество способно сделать свои избирательные институты гораздо более справедливыми и разумными.