Математические прорывы 2023 года: от «чисел Рамсея» до плитки Эйнштейна 🧮 0:00
2023 год стал временем неожиданных и масштабных открытий в фундаментальной математике. В этой статье мы разберем три знаковых прорыва, которые привлекли внимание мирового научного сообщества: прогресс в теории чисел Рамсея, открытие «плитки Эйнштейна» и решение знаменитой задачи об арифметических прогрессиях. Эти открытия доказывают, что даже задачи, над которыми ученые бились десятилетиями, могут быть решены с помощью новых комбинаций классических методов и нестандартного подхода.
🧩 Разгадка чисел Рамсея: прорыв после 80 лет попыток 0:40
Теория Рамсея, являющаяся частью теории графов, занимается поиском порядка в кажущемся хаосе. В основе проблемы лежит вопрос: «Если задана система, какие закономерности в ней неизбежно возникнут?». Числа Рамсея определяют порог перехода от порядка к случайности.
Суть проблемы и исторический контекст
Классическая задача о «вечеринке» гласит: сколько гостей нужно пригласить, чтобы гарантированно найти группу из трех человек, которые либо все знают друг друга, либо все являются незнакомцами? Решение — 6 человек. Для четверки задача усложняется: ответ — 18. Однако уже для пятого числа Рамсея точное значение до сих пор неизвестно.
История изучения проблемы насчитывает почти век:
- В 1926 году Фрэнк Рамсей доказал, что для любого конечного числа существует конечное число Рамсея.
- В 1931 году Пал Эрдёш нашел верхнюю границу, а спустя 12 лет — нижнюю.
- Десятилетиями между этими границами сохранялся огромный «экспоненциальный разрыв».
Успех международной группы
Команда математиков в составе Джулиана Сахасрабудде, Роба Морриса и Саймона Гриффитса решила изменить ситуацию. Позже к ним присоединился аспирант Марсело Кампос.
Ключевые моменты прорыва:
- Метод «книги»: Для повышения эффективности сортировки клик (связных групп) исследователи использовали инструмент «книга», позволяющий ускорить поиск через «позвоночник» — монохроматическую клику.
- Работа с «офф-диагональными» числами: Попытки применить алгоритм к другим задачам позволили улучшить показатели для стандартных чисел Рамсея.
- Результат: В 2023 году исследователи объявили, что им удалось экспоненциально уменьшить известную верхнюю границу чисел Рамсея.
Как отмечают участники, это первое улучшение такого порядка за 80 лет.
🧱 «Плитка Эйнштейна»: мозаика, которая никогда не повторяется 6:23
Более 50 лет математики искали ответ на вопрос: существует ли «апериодическая моноплитка» — одна-единственная фигура, которая может заполнить плоскость, но никогда не образует повторяющийся узор?. Такую фигуру в шутку назвали «плиткой Эйнштейна» (от немецкого ein Stein — «один камень»).
Открытие Дэвида Смита
Любитель головоломок Дэвид Смит, экспериментируя с сотнями фигур в программе polyform puzzle solver, обнаружил необычную форму. Вместе с компьютерным ученым Крейгом Капланом они проанализировали узор:
- Фигура конструируется путем деления шестиугольной сетки на шесть «воздушных змеев».
- Плитка, названная «шляпой» (Hat tile), состоит из восьми таких треугольников.
Математическое доказательство
Чтобы доказать апериодичность, Смит и Каплан привлекли математиков Кима Гудмана-Штрауса и Джозефа Майерса. Доказательство основывалось на рекурсивном объединении плиток в «суперплитки» все большего размера.
Интересно, что позже Смит нашел вторую форму — «черепаху». Майерс обнаружил, что «шляпа» и «черепаха» являются частью непрерывного множества из 13-сторонних апериодических плиток.
Спорный момент и окончательное решение
После публикации работы возникло возражение: около 1/7 «шляп» нужно было зеркально отражать, что формально делало их двумя разными фигурами, а не моноплиткой. Менее чем через неделю Смит нашел «спектр» — фигуру, которая заполняет плоскость апериодически без использования отражений. Это стало настоящим «чудом», по словам самих исследователей.
📈 Арифметические прогрессии: новый взгляд на старую задачу 14:22
Проблема арифметических прогрессий — одна из центральных в аддитивной комбинаторике. Вопрос звучит так: сколько чисел в диапазоне от 1 до $N$ можно выбрать так, чтобы среди них не было трех, составляющих арифметическую прогрессию (например, 1, 2, 3)?.
Неожиданный успех «аутсайдеров»
Аспирант Зандер Келли и доцент Рагу Миттал не планировали заниматься этой темой, работая над вопросами теоретической компьютерной техники. Однако их методы, связанные с «параллельной
