# Почему бесконечные числа слева от запятой имеют смысл?

Источник: https://www.youtube.com/watch?v=tRaq4aYPzCc
Канал: Veritasium
Опубликовано: 06.06.2023

---

Дерек Мюллер демонстрирует, что последовательное возведение в квадрат числа 5 создает число с бесконечным количеством цифр слева от десятичной точки [0:00]. Этот процесс приводит к созданию p-адических чисел — системы, ставшей фундаментальным инструментом для более чем десяти лауреатов Филдсовской премии [1:34]. Алекс Конторович утверждает, что эти числа позволяют решать задачи теории чисел и алгебраической геометрии, недоступные для обычных вещественных чисел [1:34].

## 🧮 Бесконечные цифры слева от запятой
[[JUMP:0:00]]

Возведение числа 5 в квадрат дает 25, затем 625 и 390 625 [0:00]. В этой последовательности последние цифры результата всегда совпадают с исходным числом [0:12]. Если продолжать процесс, можно построить число с бесконечным «хвостом» цифр, уходящим влево [1:07]. Такое число при возведении в квадрат возвращает само себя [1:07].

Числа с бесконечными цифрами слева называются **10-адическими числами**, так как они записываются в десятичной системе счисления [1:47]. Арифметика в этой системе работает по стандартным правилам, но вычисления проводятся справа налево [2:00].

## 🔟 Особенности 10-адической арифметики
[[JUMP:1:47]]

Сложение и умножение 10-адических чисел не создают проблем, так как каждый разряд результата зависит только от цифр в той же позиции и справа от нее [2:12]. Дерек Мюллер приводит пример: умножение бесконечной строки цифр, заканчивающейся на ...857143, на 7 дает в итоге 1 [3:10]. Это доказывает, что в 10-адической системе рациональные числа (дроби) могут быть представлены как целые бесконечные числа без использования знака деления [3:22].

Отрицательные числа также встроены в структуру системы [6:19]:

*   Бесконечная последовательность девяток (...999) равна -1 [5:23].
*   Прибавление 1 к такой строке вызывает бесконечный перенос единицы, превращая все разряды в 0 [5:50].
*   Для поиска отрицательного значения любого числа используется дополнение до 9 и прибавление единицы [6:33].

Главная проблема 10-адической системы заключается в существовании «делителей нуля» [8:41]. Произведение двух ненулевых чисел может дать 0, что нарушает базовые инструменты алгебры [7:46]. Это происходит из-за того, что число 10 является составным (2 × 5) [8:41].

## 🔢 Переход к простым основаниям p
[[JUMP:8:29]]

Математики предпочитают работать с **p-адическими числами**, где основанием $p$ выступает простое число: 2, 3, 5, 7 и так далее [9:22]. В 3-адической системе используются только цифры 0, 1 и 2 [9:38]. Здесь произведение двух чисел равно нулю только в том случае, если одно из них само является нулем [10:10].

P-адическое число можно представить как бесконечное разложение по степеням простого числа [10:25]. Например, в 3-адической системе число -1 записывается как бесконечная последовательность двоек [10:40]. P-адические числа использовались для решения Великой теоремы Ферма и других задач, сформулированных греческим математиком Диофантом [11:32].

## 📜 Диофант и Великая теорема Ферма
[[JUMP:11:32]]

Диофант искал решения полиномиальных уравнений в виде целых чисел или дробей [11:58]. Вавилонская глиняная табличка 2000 года до н.э. содержит списки «пифагоровых троек» (чисел, удовлетворяющих уравнению $x^2 + y^2 = z^2$) за тысячу лет до рождения Пифагора [12:13].

В 1637 году Пьер де Ферма на полях книги «Арифметика» Диофанта записал, что уравнение $x^n + y^n = z^n$ не имеет решений в целых числах для $n > 2$ [12:25]. Утверждение оставалось недоказанным 358 лет [12:39]. Современное доказательство этой теоремы стало возможным только благодаря изобретению p-адических чисел [12:53].

## 📐 Решение задач через метод Гензеля
[[JUMP:14:24]]

Курт Гензель в конце XIX века разработал систематический метод поиска рациональных решений уравнений [14:24]. Он предложил искать решения в форме разложения по степеням простых чисел [14:37].

В качестве примера рассматривается задача Диофанта: найти три квадрата, сумма площадей которых дает новый квадрат, при условии жесткой зависимости длин сторон [13:06]. Уравнение выглядит так: $x^2 + x^4 + x^8 = y^2$ [13:45]. Поиск решений в вещественных числах прост, но найти рациональные дроби гораздо сложнее [14:10].

Использование модульной арифметики (работы с остатками от деления на степени простого числа) упрощает процесс [15:48]:

1.  Сначала уравнение решается по модулю 3, что дает ограниченный набор вариантов для первого коэффициента [17:09].
2.  Затем решение уточняется по модулю 9, 27 и так далее [17:09].
3.  Для данной задачи расчеты показывают, что все коэффициенты x равны 1 [22:15].

Бесконечная сумма степеней $1 + 3 + 9 + 27...$ формально сходится к числу -1/2 согласно формуле геометрической прогрессии [23:37]. Подстановка $x = -1/2$ в исходное уравнение дает верное равенство с рациональными числами [23:52].

## 🌲 Геометрия и расстояние в p-адическом мире
[[JUMP:25:17]]

Геометрия p-адических чисел отличается от геометрии вещественных чисел и не ложится на прямую линию [25:17]. Ее визуализируют в виде бесконечно ветвящегося дерева [25:31]. В 3-адической системе дерево имеет три основные ветви, каждая из которых делится еще на три, образуя структуру, похожую на **салфетку Серпинского** [25:43].

Понятие размера и расстояния здесь перевернуто [27:14]:

*   Числа считаются близкими, если они совпадают в младших разрядах (младших степенях простого числа) [28:13].
*   Если два числа различаются только в разряде $3^3$, расстояние между ними равно $1/27$ [26:59].
*   Чем выше степень простого числа, тем меньший вклад она вносит в «размер» числа [26:08].
*   Большие с точки зрения обычной математики числа (например, $3^{10}$) в p-адической метрике являются очень маленькими [28:13].

## 🌟 Звезды математики
[[JUMP:30:43]]

В 1995 году Эндрю Уайлс и Ричард Тейлор опубликовали доказательство Великой теоремы Ферма [30:43]. Уайлс использовал p-адические числа и специфический «трюк 3-5» [30:57]. Когда доказательство заходило в тупик при работе с простым числом 3, он переключался на систему с основанием 5 [31:10].

Японский математик Кадзуя Като сравнивает вещественные числа с солнцем, а p-адические — со звездами [31:23]. Солнце затмевает звезды днем, а ночью люди спят и не видят их, хотя звезды столь же важны для понимания устройства вселенной [31:23].