# Алекс Конторович рассказал, как дзета-функция Римана управляет хаосом простых чисел Источник: https://www.youtube.com/watch?v=zlm1aajH6gY Канал: Quanta Magazine Опубликовано: 04.01.2021 --- Гипотеза Римана остается одной из самых волнующих и неприступных загадок в истории науки, связывающей абстрактный мир комплексного анализа с хаотичным распределением простых чисел. В видеоролике от научно-популярного издания Quanta Magazine профессор математики Алекс Конторович выступает в роли проводника, объясняя суть этой многомиллионной проблемы тысячелетия. Автор раскрывает, каким образом изящные геометрические спирали и гармоники «нулей» дзета-функции способны упорядочить хаос числовой вселенной. ## 🗺️ В поисках математического Грааля: загадка простых чисел [[JUMP:0:00]] В мире математики существуют задачи, способные одновременно восхищать, завораживать и приводить в отчаяние целые поколения исследователей. Профессор математики Алекс Конторович утверждает, что гипотеза Римана — это, возможно, самая важная нерешенная проблема во всей математической науке. Ее статус официально закреплен Институтом математики Клэя, который включил ее в список «Проблем тысячелетия», пообещав награду в размере 1 миллиона долларов тому, кто сможет представить ее строгое доказательство. Однако истинная ценность гипотезы измеряется далеко не деньгами. По словам Алекса Конторовича, ее подтверждение раскрыло бы фундаментальную тайну распределения простых чисел, которая волнует человечество с древнейших времен. На истинности этого предположения сегодня строятся бесчисленные теоремы в самых разных областях — от современной криптографии, обеспечивающей безопасность данных, до квантовой физики. ### Город факторов и хаос мироздания Чтобы понять суть проблемы, Алекс Конторович предлагает совершить мысленное путешествие в «Город факторов» (Factor City), где простые числа служат кирпичиками для строительства всех остальных чисел. В этой метафоре каждое целое число представляет собой здание, а одноэтажные дома — это исключительно простые числа. Благодаря древнегреческому математику Евклиду Александрийскому человечеству известно, что эти одноэтажные здания продолжаются до бесконечности. Однако главная сложность заключается в том, что простые числа появляются в числовом ряду совершенно непредсказуемо и хаотично, из-за чего математики долгое время не могли спрогнозировать их точное расположение. ## 📈 Одержимость Гаусса и рождение логарифмического интеграла [[JUMP:2:35]] В конце XVIII века ученые всерьез задались вопросом, возможно ли предугадать появление простых чисел. Подросток Карл Фридрих Гаусс был буквально одержим этой идеей. Он вручную рассчитал огромные таблицы простых чисел вплоть до значения 3 миллиона, пытаясь обнаружить в них скрытые закономерности. Для визуализации собранных данных Гаусс использовал инструмент, который сегодня называют функцией распределения простых чисел. На grafikе эта функция выглядит как ступенчатая линия: она остается горизонтальной, пока мы движемся по составным числам, и совершает скачок вверх ровно на единицу, когда встречается очередное простое число. На малых масштабах этот график кажется неровным, но если сдвинуть масштаб до 3 миллионов — тех пределов, которых достиг Гаусс, — отдельные ступени сглаживаются, превращаясь в красивую и плавную кривую. Юный математик задался вопросом, существует ли известная функция, график которой повторял бы этот рисунок. В тот же период Гаусс исследовал логарифмические функции, которые обращают возведение в степень (подобно тому, как деление обращает умножение). Он заметил поразительное сходство между графиком распределения простых чисел и функцией логарифмического интеграла, наклон которой выражается формулой $1/\ln x$. На больших масштабах эти две кривые сливаются настолько близко, что их становится невозможно отличить друг от друга. Возвращаясь к аналогии с «Городом факторов», Гаусс предположил следующее: > Если встать у дома с адресом $x$ и осмотреться по сторонам, то доля одноэтажных зданий (простых чисел) вокруг будет примерно равна $1/\ln x$. Это революционное предположение вошло в историю науки как гипотеза Гаусса. ## ♾️ Леонард Эйлер и бесконечные ряды [[JUMP:4:34]] Следующий важнейший шаг на пути к открытию сделал Леонард Эйлер — один из пионеров математического анализа. Именно он стандартизировал современную математическую нотацию, включая привычную всем запись функций в виде $y = f(x)$. В эпоху Эйлера ученые пытались разгадать структуру бесконечных рядов — последовательностей чисел, складываемых друг с другом до бесконечности. Алекс Конторович объясняет это на простых примерах: * Ряд из половинных долей: сумма последовательности вида $1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + \dots$ стремится к конечному пределу, равному $2$. Такие ряды математики называют сходящимися. * Ряд из единиц: сумма $1 + 1 + 1 + 1 + \dots$ уходит в бесконечность, превышая любое конечное число. Такой ряд называют расходящимся. Определить, сходится ли конкретный ряд, бывает чрезвычайно трудно. Например, гармонический ряд ($1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + \dots$) расходится, несмотря на то, что каждое его последующее слагаемое становится всё меньше. ### Базельская проблема и тождество Эйлера Настоящую мировую славу Эйлеру принесло решение знаменитой Базельской проблемы — поиск точной суммы ряда обратных квадратов ($1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + \dots$). Математик доказал, что предел этой суммы равен уникальному числу: $$\frac{\pi^2}{6}$$ Связь фундаментального геометрического числа $\pi$ с квадратами обычных целых чисел ошеломила научное сообщество. Вдохновленный успехом, Эйлер продолжил вычисления для четвертых, шестых и восьмых степеней. Обобщив эти ряды, ученые ввели понятие дзета-функции, где переменная $s$ выступает в качестве показателя степени: $$\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}$$ Эйлер доказал, что данный ряд сходится для всех значений $s > 1$. Но самым потрясающим его открытием стало то, что дзета-функцию можно представить в виде бесконечного произведения, привязанного к каждому существующему простому числу. Для этого необходимо для каждого простого числа рассчитать сумму степеней, а затем перемножить полученные результаты. Это открытие наглядно продемонстрировало глубокую связь между дзета-функцией и простыми числами, однако для полного понимания этой связи потребовалось еще целое столетие. ## 🌌 Бернхард Риман и выход в комплексную плоскость [[JUMP:7:40]] Новый грандиозный прорыв в теории чисел совершил Бернхард Риман, родившийся в 1826 году на территории современной Германии. Этот выдающийся и продуктивный математик прославился множеством открытий; в частности, его новаторский подход к геометрии впоследствии заложил математическую основу для общей теории относительности Альберта Эйнштейна. Бернхард Риман также стал одним из создателей комплексного анализа — направления, изучающего функции с комплексными входными и выходными данными. Он осознал, что сможет открыть нечто принципиально новое, если посмотрит на дзета-функцию Эйлера под этим углом. В обычных вещественных числах квадрат любого числа всегда положителен (например, $2^2 = 4$ и $(-2)^2 = 4$). Математикам требовалось число, квадрат которого давал бы отрицательный результат, и они просто ввели воображаемую единицу, назвав ее $i$, где $i^2 = -1$. Комбинация вещественного и мнимого чисел образует комплексное число (например, $2 + 3i$), которое имеет две составляющие: вещественную часть и мнимую часть. По мнению Алекса Конторовича, комплексные числа вовсе не являются «вымышленными» — это естественное расширение нашей привычной числовой системы из одного измерения (линии) в два (плоскость). Их наносят на комплексную плоскость, где вещественная часть откладывается слева направо, а мнимая — снизу вверх. ### Спирали комплексной дзета-функции Вооружившись методами комплексного анализа, Бернхард Риман решил подставить в дзета-функцию комплексный аргумент, сделав $s$ комплексным числом. Если взять, к примеру, значение $s = 2 + 3i$ и поочередно наносить слагаемые на комплексную плоскость, то точки начнут складываться в завораживающую, красивую спираль. Однако, как и в случае с вычислениями Эйлера, этот ряд сходился только тогда, когда вещественная часть комплексного числа $s$ была строго больше единицы. Тогда Бернхарду Риману пришла в голову блестящая идея: использовать метод аналитического продолжения. > Как объясняет ведущий, аналитическое продолжение — это сложная концепция высшей математики, которую интуитивно можно представить как метод логического расширения области определения функции за ее первоначальные пределы. Чтобы заполнить пустые участки на плоскости, Риман создал новую функцию. Она принимала те же значения, что и формула Эйлера в зоне ее сходимости, но при этом сохраняла строгий математический смысл во всех остальных точках плоскости. Таким образом, зародилась знаменитая дзета-функция Римана. ## 🎯 Секрет критической линии и гипотеза Римана [[JUMP:11:11]] Когда Бернхард Риман расширил область определения дзета-функции на всю комплексную плоскость, обнаружилось удивительное явление: в новообретенных регионах график функции начал пересекать начало координат. Это означало, что при определенных комплексных значениях аргумента функция становилась равной нулю. Математики называют такие точки «нулями дзета-функции». Часть этих нулей объяснить легко — функция обнуляется в каждом отрицательном четном целом числе ($-2, -4, -6 \dots$), но эти нули называют тривиальными, и они не представляют глубокого интереса для теории чисел. Настоящую загадку таят в себе так называемые нетривиальные нули. Все открытые нетривиальные нули располагаются внутри строго ограниченной области, называемой «критической полосой». Она находится там, где вещественная часть комплексного числа $s$ строго зажата между $0$ и $1$. Риман сумел строго доказать, что внутри этой полосы скрывается бесконечное множество нулей. Главный вывод его фундаментальной работы 1859 года заключался в следующем предположении: Бернхард Риман выдвинул гипотезу, что абсолютно все нетривиальные нули лежат не просто где-то внутри полосы, а выстроены строго на одной вертикальной прямой линии прямо по ее центру. Эта линия называется «критической линией», и вещественная часть $s$ на ней всегда в точности равна $1/2$. Именно это утверждение сегодня и называют гипотезой Римана. ## 🌊 Математическая музыка: как нули управляют простыми числами [[JUMP:12:47]] Какая связь существует между геометрическим расположением нулей на комплексной плоскости и поведением простых чисел в реальном мире? Ответ кроется в финальном открытии Римана. Для этого ученый технически модифицировал функцию распределения простых чисел Гаусса. Вместо того чтобы подниматься на единицу при обнаружении каждого простого числа $p$, модифицированная функция совершает скачок на величину $\ln p$. Аналогичные скачки происходят на квадратах, кубах и последующих степенях простых чисел ($p^2, p^3, p^4 \dots$). Риман обнаружил поразительную связь между этой модифицированной функцией и своей дзета-функцией. Он выделил математическую волну, соответствующую значению $s = 1$, и показал, что гипотеза Гаусса была бы абсолютно верна, если бы эта волна являлась фундаментальной частотой. Это означает, что по мере стремления к бесконечности данная волна должна всё точнее и точнее аппроксимировать ступенчатый график простых чисел. Однако график простых чисел имеет рваную, зазубренную форму. Риман осознал, что нетривиальные нули дзета-функции — это как раз те элементы, которые необходимы для корректировки плавной линии под реальный ступенчатый график. Каждый добавленный нетривиальный нуль привносит в общую картину свою математическую гармонику. Алекс Конторович наглядно демонстрирует этот процесс: * Первая гармоника аккуратно сглаживает колебания модифицированной функции распределения. * Второй нуль делает приближение еще точнее. * Добавление первых 10, 30, а затем 60 нулей делает график практически идентичным исходной функции. Риман сумел строго доказать, что если просуммировать гармоники абсолютно всех бесконечных нетривиальных нулей дзета-функции, то получится идеальное, стопроцентное совпадение с модифицированной функцией Гаусса. Таким образом, распределение простых чисел поддается четкому прогнозированию, поскольку оно напрямую связано с положением нетривиальных нулей. Если гипотеза Римана верна, человечество получит исчерпывающее знание о природе простых чисел. ## 💻 Бессилие суперкомпьютеров перед бесконечностью [[JUMP:14:54]] К сожалению, ни сам Бернхард Риман, ни один другой математик за прошедшие полтора века так и не смогли доказать эту гипотезу полностью. Никому не удалось неопровержимо подтвердить, что каждый без исключения нетривиальный нуль обязан находиться строго на критической линии. В рамках масштабного вычислительного проекта суперкомпьютеры ежедневно проверяли более 1 миллиарда нетривиальных нулей в поисках хотя бы одного ошибочного, сошедшего с линии нуля — ведь если бы нашелся хотя бы один такой нуль, гипотеза Римана была бы мгновенно опровергнута. В общей сложности машины проверили 10 триллионов нетривиальных нулей, и каждый из них лежал строго на критической линии. Тем не менее, по словам Алекса Конторовича, даже если закономерность повторяется триллионы раз, компьютерные вычисления никогда не смогут подтвердить гипотезу до конца, ведь проверить числа до бесконечности физически невозможно. Единственный способ поставить точку в этом вопросе — использовать метод, унаследованный от древних греков: представить строгое, абсолютное математическое доказательство.