# Профессор Кемпторн: «Стандартные модели волатильности часто ошибаются в экстремальных условиях» Источник: https://www.youtube.com/watch?v=zapp8smQKhg Канал: MIT OpenCourseWare Опубликовано: 03.12.2025 --- В лекции MIT OpenCourseWare профессор Питер Кемпторн (Peter Kempthorne) представляет глубокий обзор методов моделирования волатильности — ключевого параметра в современных финансах для оценки рисков и стоимости опционов. Исследование охватывает путь от классического геометрического броуновского движения до сложных авторегрессионных моделей, учитывающих «тяжелые хвосты» и временную динамику рыночных колебаний. ## 📈 Определение и основы измерения волатильности [[JUMP:0:00]] Волатильность в самом базовом определении представляет собой годовое стандартное отклонение изменения цены или стоимости финансового актива [1:08]. Этот показатель критически важен для измерения риска и оценки производных финансовых инструментов. Одной из фундаментальных концепций является «аннуализация» (приведение к годовому исчислению). Чтобы перевести ежедневную волатильность в годовую, используется коэффициент, равный квадратному корню из количества торговых дней в году (обычно 252) [2:00]. Профессор Кемпторн подчеркивает, что такая стандартизация позволяет сравнивать волатильность инструментов с разными сроками погашения в едином масштабе [2:15]. Существует несколько подходов к оценке: * **Историческая волатильность:** расчет на основе фактических прошлых цен без использования вероятностных моделей [2:30]. * **Геометрическое броуновское движение (GBM):** модель с постоянной волатильностью, где приращения цены логнормальны [2:46]. * **Модели с прыжками (Poisson jump diffusion):** расширение GBM, учитывающее внезапные резкие изменения цен [2:59]. * **Динамические модели (ARCH/GARCH):** учитывают зависимость волатильности от времени [3:27]. * **Стохастическая волатильность:** например, модель Хестона, где сама волатильность является случайным процессом [3:54]. * **Подразумеваемая (implied) волатильность:** извлекается из текущих рыночных цен опционов [4:06]. ## 📊 Исторические данные и фактор затухания [[JUMP:4:19]] При работе с историческими рядами цен наиболее удобным инструментом являются логарифмические доходности (log returns). В отличие от простых процентных изменений, логарифмические доходности обладают свойством аддитивности: совокупное изменение за несколько периодов равно сумме доходностей за каждый период [5:01]. Профессор Кемпторн отмечает, что простая скользящая средняя за последние $m$ дней может быть неэффективной, так как она придает одинаковый вес как вчерашним событиям, так и событиям месячной давности [7:48]. Более совершенным методом является экспоненциальное взвешенное скользящее среднее (EWMA). В 1990-х годах компания JP Morgan популяризировала этот подход в своем техническом документе RiskMetrics [11:03]. По словам Кемпторна, который в то время сотрудничал с исследовательским центром Sloan School, спонсируемым JP Morgan, ключевым параметром здесь является коэффициент затухания (decay factor). Исследования показали следующее: * Для большинства активов (валюты, индексы акций) коэффициент затухания составляет более 0.9, часто около 0.94–0.95 [12:16]. * Высокое значение коэффициента говорит о том, что волатильность меняется во времени медленно [12:16]. * Выбор таких факторов основывался на минимизации среднеквадратичной ошибки прогноза [12:31]. ## 🧬 Прецизионные оценки: методы Гармана-Класса и Ян-Чжана [[JUMP:18:32]] Стандартный метод оценки волатильности использует только цены закрытия (close-to-close). Однако это игнорирует огромный пласт информации, доступный внутри торгового дня. Профессор представляет оценщик Гармана-Класса, который задействует цены открытия, закрытия, максимума и минимума (OHLC) [19:47]. Математическая эффективность различных методов оценки существенно различается: * **Close-to-close:** принимается за базовую единицу (эффективность 1.0) [22:07]. * **Метод Паркинсона:** использует только High и Low, его эффективность составляет 5.2 [27:17]. Это означает, что для достижения той же точности, что и у стандартного метода, Паркинсону требуется в 5 раз меньше данных [27:30]. * **Метод Гармана-Класса:** объединяет OHLC данные, достигая эффективности 6.2 [28:59]. * **Композитный оценщик:** может достигать эффективности 8.4 [31:39]. На сегодняшний день, как утверждает Кемпторн, наиболее предпочтительным является метод Ян-Чжана (Yang-Zhang) [37:56]. Его главное преимущество заключается в независимости от дрейфа (drift-independent), что делает его более устойчивым к направленным движениям рынка [32:07]. ## 💻 Практический анализ в среде R: S&P 500 против ARKK [[JUMP:32:35]] В рамках практического кейса профессор демонстрирует анализ индекса S&P 500 и фонда Кэти Вуд ARKK с использованием языка R и пакета `FPP2` [45:21]. Визуализация реализованной волатильности S&P 500 показывает характерные всплески, например, во время пандемии COVID-19, когда волатильность кратно превысила привычные уровни в 12–15% [36:33]. Для прогнозирования используются модели ARIMA (авторегрессионное интегрированное скользящее среднее). Кемпторн выделяет несколько нюансов: * **Автоматизация:** функция `auto.arima` подбирает оптимальные параметры модели на основе скорректированного информационного критерия Акаике (AICC) [47:01]. * **Эффект окна:** при расчете волатильности в 21-дневном скользящем окне в автокорреляционной функции остатков часто возникает значительный всплеск на 21-м лаге [49:15]. Это связано с тем, что данные входят в расчетное окно и выходят из него. * **Сезонная ARIMA (SARIMA):** применение сезонных параметров с периодом 21 позволяет эффективно устранить эти артефакты и получить остатки, близкие к «белому шуму» [57:51]. ## 📉 Тяжелые хвосты и распределение Лапласа [[JUMP:1:03:32]] Классические финансовые модели часто опираются на нормальное (Гауссово) распределение доходностей. Однако реальные рыночные данные демонстрируют более «острые» пики и «тяжелые» хвосты (куртозис). Профессор Кемпторн предлагает использовать распределение Лапласа как более адекватную альтернативу [1:04:41]. Основные аргументы в пользу этого подхода: 1. Распределение Лапласа (двустороннее экспоненциальное) гораздо лучше описывает данные по S&P 500 за длительные периоды, чем колоколообразная кривая Гаусса [1:06:24]. 2. Q-Q плоты (квантиль-квантиль) наглядно показывают, что точки данных лежат почти на идеальной прямой для модели Лапласа, в то время как Гауссова модель систематически ошибается в экстремальных значениях [1:08:03]. 3. Математически доходности следуют распределению Лапласа, если приращения времени в броуновском движении сами являются случайными величинами с экспоненциальным распределением [1:04:41]. ## ⚡ Модели ARCH и GARCH: прорыв Роберта Энгла [[JUMP:1:08:29]] Завершающая часть лекции посвящена моделям ARCH (авторегрессионная условная гетероскедастичность), за которые Роберт Энгл получил Нобелевскую премию. Суть модели в том, что текущая волатильность зависит от квадратов прошлых ошибок (доходностей) [1:09:17]. Тим Боллерслев позже расширил эту концепцию до GARCH, добавив в уравнение лаги самой волатильности [1:12:32]. Кемпторн отмечает удивительную практическую особенность: модель GARCH(1,1) — самая простая версия с минимумом параметров — чаще всего оказывается наилучшей при эмпирической проверке [1:13:19]. Важные выводы по динамическим моделям: * **Кластеризация волатильности:** модели ARCH/GARCH математически подтверждают эффект, когда за периодами высокой волатильности следуют периоды высокой волатильности, и наоборот [1:10:41]. * **T-распределение:** использование t-распределения Стьюдента в качестве распределения ошибок в моделях GARCH дает еще более точные результаты, чем стандартное нормальное распределение [1:19:18]. * **Девять степеней свободы:** по мнению профессора, оптимальное количество степеней свободы для t-распределения в финансовых рядах часто составляет около 9, что может быть связано с периодами стабильности волатильности [1:20:15].