# 352 миллиона узлов: как математика спасает жизни и распутывает наушники

Источник: https://www.youtube.com/watch?v=8DBhTXM_Br4
Канал: Veritasium
Опубликовано: 03.09.2023

---

Математики классифицировали уже 352 152 252 различных узла, каждый из которых обладает уникальными свойствами. Теория узлов превратилась из абстрактной геометрии в инструмент для разработки лекарств, создания сверхпрочных материалов и понимания структуры ДНК.

## 🧬 От ботинок до периодической таблицы
[[JUMP:00:00]]

Большинство людей завязывают шнурки неправильно [0:00]. Существует два способа: обвод петли по часовой стрелке или против неё. Один из этих узлов держится гораздо крепче и не развязывается при ходьбе [0:12]. Разница между ними объясняется фундаментальными законами топологии.

В математике узел — это замкнутая петля [1:48]. Простейший вариант представляет собой обычный круг, который называют **тривиальным узлом** (unknot). Чтобы изучать узлы строго, математики соединяют концы веревки. Это позволяет менять форму петли, не разрушая саму структуру узла [2:01].

Два узла считаются идентичными, если один можно превратить в другой, не разрывая веревку. Самый простой узел после тривиального — **трилистник** [2:27]. Его невозможно превратить в круг без разрезания петли.

## 📜 Дымовые кольца и ошибка Кельвина
[[JUMP:04:13]]

История теории узлов началась с попытки объяснить устройство Вселенной. В 1867 году Колин Адамс и другие исследователи ссылаются на эксперименты Питера Гютри Тэта с дымовыми кольцами [5:31]. Физик Уильям Томсон (лорд Кельвин) увидел в этих кольцах модель атома.

Кельвин предположил, что:

*   Атомы — это вихревые кольца в эфире [6:10].
*   Разные химические элементы соответствуют разным типам узлов.
*   Водород — это простейший тривиальный узел [6:23].
*   Спектральные линии натрия объясняются формой зацепления Хопфа.

Питер Гютри Тэт начал составлять таблицу узлов, надеясь создать аналог периодической таблицы элементов [6:37]. Хотя физика Кельвина оказалась ошибочной после открытия электрона в 1897 году, математическая работа Тэта заложила основу новой науки [7:45].

## 📐 Проблема эквивалентности и ходы Райдемейстера
[[JUMP:09:32]]

Главный вопрос теории — как доказать, что два запутанных мотка веревки являются одним и тем же узлом. Эта задача называется проблемой эквивалентности [3:47]. Алан Тьюринг в своей последней публикации сомневался, что для этой проблемы существует общее решение [4:01].

В 1927 году Курт Райдемейстер доказал, что любые два идентичных узла можно преобразовать друг в друга с помощью трех манипуляций:

1.  **Скручивание** (twist) — создание или удаление петли.
2.  **Продевание** (poke) — перемещение одной нити под или над другой.
3.  **Скольжение** (slide) — перемещение нити через перекресток.

Однако использование этих ходов не дает быстрого ответа [10:25]. Можно годами менять форму узла, так и не приведя его к виду другого, даже если они одинаковы. Математики установили верхний предел количества ходов Райдемейстера, необходимых для проверки эквивалентности [12:15]. Это число настолько огромно, что для его записи требуется операция **тетрации** — возведение в степень цепочкой из двоек [12:29].

## 🧪 Инварианты: как отличить один узел от другого
[[JUMP:12:55]]

Чтобы не перебирать бесконечные варианты ходов, математики используют инварианты. Это свойства узла, которые не меняются при любых деформациях. Одним из простейших инвариантов является **трираскрашиваемость** [14:13].

Правила раскраски узла тремя цветами:

*   В каждом перекрестке должны сходиться либо три разных цвета, либо один и тот же [14:40].
*   Необходимо использовать как минимум два цвета.

Трилистник можно раскрасить тремя цветами, а тривиальный узел — нет [15:47]. Это строго доказывает, что они различаются. Для более сложных случаев используют **полиномы**.

В 1923 году был открыт полином Александра [18:05]. В 1984 году Вон Джонс обнаружил новый тип полинома, который различает гораздо больше узлов [19:38]. За это открытие он получил Филдсовскую премию в 1990 году [20:21]. Позже шесть групп математиков независимо вывели еще более мощный инструмент — **HOMFLY-полином** [20:46].

## 👟 Пара Перко и компьютерная табуляция
[[JUMP:21:41]]

Таблицы Тэта и его коллег считались эталонными более 75 лет. В них числились два узла с десятью перекрестками как разные объекты. В 1973 году юрист Кеннет Перко, увлекавшийся математикой, обнаружил, что эти два узла идентичны [22:07]. Теперь эта структура известна как **пара Перко**.

Количество известных узлов резко возросло с применением компьютеров:

*   Джон Конвей вручную нашел все 552 узла с 11 перекрестками [22:32].
*   В 1980-х алгоритмы классифицировали узлы до 13 перекрестков.
*   В 2020 году Бен Бертон вычислил все узлы до 19 перекрестков [23:27].
*   Общее число известных простых узлов достигло 352 152 252 [23:27].

## 💊 Узлы в биологии и медицине
[[JUMP:26:07]]

Теория узлов спасает жизни через понимание работы ДНК. Бактериальная ДНК представляет собой замкнутую петлю. При репликации две дочерние нити оказываются сцепленными друг с другом [26:21]. Бактерия не может разделиться, пока ДНК запутана.

Для решения этой проблемы природа создала фермент **топоизомераза II**. Он работает как молекулярные ножницы: разрезает одну нить, пропускает сквозь разрез другую и снова соединяет концы [26:33].

Применение теории в медицине:

1.  **Антибиотики:** препараты группы хинолонов блокируют топоизомеразу бактерий, что ведет к их гибели [26:58].
2.  **Химиотерапия:** лекарства подавляют человеческую топоизомеразу в раковых клетках, останавливая их быстрое деление [27:39].

Также узлы встречаются в белках. Около 1% всех белков имеют узлы в своей структуре [28:06]. Неправильное сворачивание (knotting) белков приводит к сбоям в работе организма.

## 🎧 Почему наушники всегда запутываются
[[JUMP:28:33]]

Исследователи Дориан Реймер и Даг Смит провели 3415 экспериментов, встряхивая веревки в коробках [29:42]. Они выяснили, что узлы образуются почти мгновенно, если веревка достаточно длинная и гибкая.

Основные выводы исследования:

*   Длительное встряхивание повышает вероятность появления узла [30:10].
*   В тесном пространстве узлы образуются реже, так как движение нити ограничено [30:22].
*   Чтобы наушники не путались в кармане, их нужно помещать в максимально маленькую емкость или футляр.

Чтобы избежать узлов, можно увеличить жесткость провода. В биологии ДНК увеличивает жесткость за счет суперспирализации [31:13]. В быту можно сложить провод вдвое и перекрутить его — это создаст внутреннее напряжение, препятствующее запутыванию [31:28].