# Математика облигаций: как число Эйлера и Якоб Бернулли определили современную финансовую систему

Источник: https://www.youtube.com/watch?v=NZ3Mva95UsQ
Канал: MIT OpenCourseWare
Опубликовано: 03.12.2025

---

В рамках учебного курса MIT OpenCourseWare представлена лекция, посвященная математическим основам облигаций и процентных ставок. Лектор разбирает путь от базового начисления процентов до сложных финансовых инструментов, объясняя, как математические константы вроде числа *e* связаны с современным банковским делом и почему форма кривой доходности может предсказывать экономические кризисы.

## 📈 Математика процентов: от вклада до числа Эйлера
[[JUMP:00:16]]

Основой финансовых расчетов является понятие процентной ставки ($r$). Если инвестировать 1 доллар сегодня, через год его стоимость составит $1 + r$ [01:11]. При реинвестировании средств (сложный процент) через $n$ лет сумма вырастет до $(1 + r)^n$. 

Однако в реальности начисление может происходить чаще, чем раз в год. Лектор демонстрирует, как меняется формула при увеличении частоты периодов начисления:

*   При начислении раз в полгода сумма через год составит $(1 + r/2)^2$ [02:19].
*   При делении года на $m$ периодов формула принимает вид $(1 + r/m)^m$ [03:02].
*   Если устремить $m$ к бесконечности (непрерывное начисление процентов), мы приходим к пределу, который равен $e^r$ [03:49].

Интересный исторический факт: именно так в 1683 году Якоб Бернулли открыл и определил число $e$ [04:15]. Его работа, посвященная изучению сложного процента, фактически стала первой в истории статьей по математическим финансам [04:43].

## 💸 Принцип отсутствия арбитража и дисконтирование
[[JUMP:04:57]]

Центральный вопрос оценки будущих денежных потоков: сколько нужно заплатить сегодня, чтобы получить 1 доллар через год? [05:10]. Для ответа на него используется принцип отсутствия арбитража. 

Предположим, сегодня мы платим за это право $X$ долларов. Если мы займем эту сумму $X$ под процент $r$, то в конце года наш долг составит $X \times (1 + r)$. В этот же момент мы получим обещанный 1 доллар. Разница между полученным долларом и выплаченным долгом должна быть равна нулю [06:55]. 

Лектор объясняет логику:

1.  Если разница больше нуля, любой мог бы бесконечно занимать деньги, покупать такие контракты и получать безрисковую прибыль [06:28].
2.  Если меньше нуля, сделка была бы заведомо убыточной для покупателя [06:42].
3.  Следовательно, справедливая цена $X$ сегодня — это $1 / (1 + r)$.

Этот процесс называется дисконтированием [07:13]. Коэффициент $1 / (1 + r)$ является фактором дисконтирования. В случае непрерывного начисления процентов стоимость суммы $N$, которую вы получите через $n$ лет, сегодня рассчитывается как $N \times e^{-rn}$ [08:20].

## 📜 Типы облигаций и их оценка
[[JUMP:09:00]]

Простейшим финансовым инструментом является бескупонная облигация (zero-coupon bond) — право получить фиксированную сумму (номинал, обычно 100) в определенный момент в будущем [09:12]. 

Более распространены купонные облигации. Большинство инвесторов предпочитает получать периодические выплаты за то, что они одолжили свои деньги государству или компании [09:41]. В США такие выплаты обычно производятся раз в полгода, в Европе — раз в квартал [09:55].

Цена купонной облигации складывается из суммы всех будущих денежных потоков (купонов и номинала в конце срока), приведенных к сегодняшнему дню с помощью дисконтирования [10:22]. С точки зрения математики, это расчет суммы геометрической прогрессии [11:02].

## 📊 Доходность и её обратная связь с ценой
[[JUMP:11:15]]

Сравнивать облигации только по их рыночной цене неудобно, так как они имеют разные сроки погашения и разные купонные ставки [11:29]. Поэтому в финансовом мире используют универсальный показатель — доходность (yield).

Доходность — это такая константная процентная ставка, которая при дисконтировании всех будущих выплат дает текущую рыночную цену облигации [12:09]. Между ценой и доходностью существует жесткая математическая связь:

*   Для бескупонных облигаций расчет доходности прост и выводится напрямую из формулы дисконтирования [12:40].
*   Для купонных облигаций вычисление доходности сложнее и требует численных методов [12:54].
*   **Главное правило:** цена и доходность находятся в обратной зависимости. Чем выше доходность, тем ниже цена, и наоборот [13:48].

## 📉 Кривая доходности как предсказатель рецессий
[[JUMP:14:29]]

В идеальном мире доходность всех облигаций была бы одинаковой, но в реальности она меняется в зависимости от срока погашения. График этой зависимости называется кривой доходности (yield curve) [14:42].

Типы кривых:

*   **Нормальная (восходящая):** инвесторы хотят получать большую доходность за долгосрочные вложения. Примером служит кривая 1992 года, когда ставки начинались с 3% для коротких бумаг и уходили к 7% для длинных [15:24].
*   **Инвертированная (перевернутая):** доходность краткосрочных бумаг выше, чем долгосрочных.

По мнению лектора, инвертированная кривая является признанным предсказателем экономических проблем [17:33]. Он приводит исторические примеры: кривая была инвертирована в 2007 году перед мировым финансовым кризисом и в 2019 году перед пандемией [16:32]. На момент проведения лекции (сентябрь) кривая также демонстрирует инверсию [15:11]. Лектор отмечает, что сейчас задача ФРС — обеспечить «мягкую посадку» экономики, чтобы избежать рецессии, несмотря на тревожные сигналы рынка [17:45].

Ожидается, что на ближайшем заседании ФРС в сентябре ставки будут снижены, что немедленно опустит «короткий конец» кривой, однако предсказать поведение долгосрочных ставок крайне сложно [18:40].

## 🛡️ Чувствительность и риски: дюрация и выпуклость
[[JUMP:19:07]]

Поскольку цены облигаций чувствительны к изменению доходности, инвесторам крайне важно понимать степень этой чувствительности. В финансах для этого используются производные:

1.  **Дюрация (Duration):** первая производная цены по доходности, масштабированная на цену [19:46]. Она показывает, на сколько процентов изменится цена облигации при изменении доходности на 1% [19:58].
2.  **Выпуклость (Convexity):** вторая производная, которая учитывает нелинейный характер изменения цены [20:12].

Эти показатели являются важнейшими мерами риска для любого портфеля облигаций. В будущем лектор планирует вернуться к этим темам, а также обсудить более сложные инструменты, такие как форвардные ставки и свопы [20:25].