# Математика случайности: Питер Кемпторн о том, как вычислить неизмеримое

Источник: https://www.youtube.com/watch?v=5cruqmIF6l0
Канал: MIT OpenCourseWare
Опубликовано: 03.12.2025

---

Математика финансовых рынков строится на фундаменте, который значительно отличается от классического анализа. В рамках курса MIT OpenCourseWare профессор Питер Кемпторн (Peter Kempthorne) подробно разбирает стохастическое исчисление — дисциплину, позволяющую моделировать динамику активов через случайные процессы. Основная идея лекции заключается в том, что обычное исчисление расширяется для работы с броуновским движением, где приращения случайны, а правила дифференцирования требуют введения дополнительных поправок.

## 📈 От классики к случайности: суть стохастического исчисления
[[JUMP:00:12]]

Традиционное исчисление работает с детерминированными переменными, но для моделирования стоимости акций или сложных производных инструментов (опционов) этого недостаточно [00:28]. Профессор Кемпторн отмечает, что стохастическое исчисление позволяет описывать динамику активов как интегралы функций относительно броуновского движения. Это критически важно, так как броуновское движение характеризует лежащую в основе неопределенность рынка [01:11].

Ключевые свойства стандартного броуновского движения:

*   Независимость приращений.
*   Вариация приращений пропорциональна длине временного интервала.
*   Среднее значение приращения равно нулю, а стандартное отклонение пропорционально корню из времени [03:02].

При переходе к бесконечно малым приращениям ($\Delta t \to 0$), ожидаемое значение квадрата приращения броуновского движения ведет себя как $\sigma^2 \Delta t$ [06:59]. Это свойство, по словам Кемпторна, принципиально отличает стохастическое исчисление от обычного, где квадраты приращений высших порядков просто исчезают.

## 🧮 Построение интеграла Ито
[[JUMP:12:37]]

Чтобы математически строго работать со случайными процессами, необходимо определить интеграл Ито. Кемпторн вводит понятие вероятностного пространства $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ и фильтрации $\mathcal{F}_t$ [13:07]. Фильтрация $\mathcal{F}_t$ — это совокупность информации, доступной к моменту времени $t$. В этом контексте:

1.  Прошлое пути броуновского движения детерминировано (известно).
2.  Будущее (после момента $t$) остается случайным [16:46].

Профессор выделяет несколько этапов определения интеграла Ито, начиная от самых простых случаев:

*   **Случай 1:** Интегрирование константы. Интеграл от единицы по броуновскому движению — это просто приращение самого процесса [22:18].
*   **Случай 2:** Ступенчатые детерминированные функции. Интеграл определяется как сумма уровней ступенек, умноженная на приращения процесса [27:13].
*   **Случай 3:** Случайные уровни (предсказуемые переменные). Уровни могут зависеть от прошлого пути, но не от будущего. Кемпторн подчеркивает важность «неупреждающих» (non-anticipatory) переменных [30:38].

Важнейшее утверждение лекции: интеграл Ито сам по себе является случайной величиной, имеющей свое математическое ожидание (обычно 0) и дисперсию [21:47].

## 🔄 Парадокс «математического тормоза»: случай $\int B \, dB$
[[JUMP:33:39]]

Одним из самых контрсамоочевидных моментов лекции является вычисление интеграла $\int B_s \, dB_s$. В обычном исчислении интеграл $\int x \, dx$ равен $x^2 / 2$. Однако в стохастическом мире это не так [43:17].

Кемпторн демонстрирует, что из-за квадратичной вариации броуновского движения результат выглядит иначе:
$$\int_0^T B_s \, dB_s = \frac{1}{2} B_T^2 - \frac{1}{2} T$$

Член $-1/2 T$ профессор называет своеобразным «тормозом» или «сопротивлением» (drag), который возникает из-за бесконечной изменчивости случайного процесса [43:35]. Это прямое следствие того, что сумма квадратов приращений броуновского движения на интервале $[0, T]$ сходится к $T$ при измельчении разбиения [42:45].

## 📜 Формула Ито: «Святой Грааль» стохастики
[[JUMP:58:08]]

Центральное место в лекции занимает формула Ито — аналог правила цепочки (дифференцирования сложной функции) для случайных процессов. Если у нас есть функция $f(B_t)$, её дифференциал включает в себя дополнительный член со второй производной [1:01:26]:

$$df(B_t) = f'(B_t) \, dB_t + \frac{1}{2} f''(B_t) \, dt$$

По мнению Кемпторна, эта формула является невероятно мощным инструментом [1:02:10]. Она позволяет:

*   Решать стохастические дифференциальные уравнения (СДУ).
*   Находить интегралы, применяя формулу Ито в обратном порядке (как поиск первообразной) [1:04:00].
*   Устанавливать связь между мартингалами и дифференциальными уравнениями в частных производных (PDE) [1:11:12].

Для функций двух переменных $f(t, X_t)$ формула расширяется, учитывая как изменение во времени, так и изменение в пространстве состояний. Кемпторн объясняет, что если определенное условие на производные выполняется (соответствующее PDE равно нулю), то процесс $f(t, B_t)$ становится мартингалом [1:10:43].

## 🎰 Практическое применение: Задача о разорении
[[JUMP:1:15:21]]

В завершение лекции Кемпторн демонстрирует мощь теории мартингалов на классической «задаче о разорении» (ruin problem). Задача состоит в определении вероятности того, что процесс с дрейфом достигнет верхнего порога $A$ раньше, чем нижнего порога $-B$ [1:16:08].

Профессор называет метод решения через мартингалы «очень элегантным» [1:16:48]. Вместо сложных комбинаторных расчетов:

1.  Определяется подходящий мартингал на основе процесса.
2.  Задаются граничные условия (вероятность 1 в точке $A$ и 0 в точке $-B$) [1:17:46].
3.  Решается дифференциальное уравнение, вытекающее из свойств мартингала [1:20:17].

Итогом лекции становится подготовка базы для следующей темы — общих стохастических дифференциальных уравнений, где параметры дрейфа и волатильности сами могут быть функциями времени и состояния системы [1:22:28].