Георг Кантор в 1870 году начал работу по поиску определенного порядка для вещественных чисел . Эта задача едва не довела его до гибели . Работа математика привела к открытию разных размеров бесконечности и созданию одной из самых спорных концепций в науке .
🔢 Математика выбора и разные бесконечности 0:00
Человек может легко выбрать случайное число, но в математике этот процесс требует четкого правила . Простейшее правило — всегда выбирать наименьший элемент. Для целых положительных чисел это единица, для простых — двойка. Однако для вещественных чисел, включая дроби и иррациональные значения типа числа Пи, найти «самое маленькое» невозможно .
Вещественные числа тянутся к отрицательной бесконечности. Даже если ограничить выбор числами больше единицы, за ней следуют 1,01, затем 1,0001 и так далее до бесконечности . Математики долгое время не могли понять, как просто выбрать один элемент из бесконечного множества без четкого правила.
До XIX века бесконечность считалась единым понятием «вечности». Галилео Галилей в 1638 году заметил, что натуральных чисел столько же, сколько их квадратов . Он установил однозначное соответствие между ними. Из этого Галилей сделал вывод, что понятия «больше» или «меньше» не применимы к бесконечности .
Георг Кантор в 1874 году опроверг это представление. Он сравнил натуральные числа и вещественные числа в интервале от нуля до единицы . С помощью диагонального метода он доказал, что эти множества имеют разные размеры:
- Счетные бесконечности: натуральные числа, квадраты, дроби. Их можно пронумеровать .
- Несчетные бесконечности: вещественные и комплексные числа. Они всегда больше любой счетной последовательности .
🏛️ Аксиома выбора Эрнста Цермело 6:17
Георг Кантор стремился доказать, что любое множество можно «вполне упорядочить» . Для этого у множества и любого его подмножества должна быть четкая точка старта. Натуральные числа уже упорядочены (начинаются с 1). Целые числа можно упорядочить, если начать с нуля и чередовать положительные и отрицательные значения: 0, 1, -1, 2, -2 .
Георг Кантор верил, что это правило работает и для несчетных множеств, но не смог найти доказательство. Его работу жестко критиковали коллеги. Леопольд Кронекер называл бывшего ученика «научным шарлатаном» и «развратителем молодежи» . Из-за травли у Георга Кантора случился нервный срыв, и он провел годы в санатории .
В 1904 году на Международном математическом конгрессе Юлиус Кёниг заявил, что теорема Георга Кантора неверна . В зале находился Эрнст Цермело. За 24 часа он нашел ошибку в доводах Кёнига, а через месяц опубликовал свое доказательство .
Эрнст Цермело сформулировал аксиому выбора:
- Имеется бесконечное количество непустых множеств.
- Аксиома утверждает, что можно выбрать ровно по одному элементу из каждого множества одновременно.
- Нам не нужно указывать правило выбора, достаточно признать саму возможность такого действия .
Используя эту аксиому, Эрнст Цермело доказал, что вещественные числа можно упорядочить. Для этого он ввел числа «омега», которые идут сразу после бесконечности . Хотя в таком порядке число 1 000 000 000 может стоять раньше, чем 0,2, логически структура стала возможной.
🌀 Парадоксы неисполнимого выбора 17:22
Принятие аксиомы выбора привело к результатам, которые противоречили интуиции. В 1905 году Джузеппе Витали использовал её для создания множества, не имеющего длины . Он разделил все числа от 0 до 1 на бесконечные группы. Числа попадали в одну группу, если разница между ними была рациональным числом .
Затем Джузеппе Витали применил аксиому выбора, чтобы взять по одному представителю из каждой группы и составить множество Витали. При попытке вычислить его размер возникла ошибка:
- Сумма бесконечных копий этого множества должна составлять длину интервала (от 1 до 3).
- Если размер множества равен 0, их сумма будет 0.
- Если размер больше 0, их сумма будет бесконечной.
- Единственный выход — признать, что множество Витали неизмеримо .
Математика всегда строилась на возможности измерения веса, времени или расстояния. Аксиома выбора создала объекты, которые невозможно измерить в принципе .
🍎 Парадокс Банаха–Тарского 23:16
В 1924 году Стефан Банах и Альфред Тарский доказали, что один твердый шар можно разделить на пять частей и собрать из них два точно таких же шара . Процесс можно повторять бесконечно, получая целую вселенную из одного объекта.
Логика парадокса опирается на вращения:
- Представьте граф, где из центра можно идти вверх, вниз, влево или вправо .
- Если запретить возвращаться назад, граф будет бесконечно ветвиться.
- Его можно разделить на секции. Сдвиг левой секции вправо восстанавливает почти весь исходный граф .
- Математики применили это к точкам на сфере, используя иррациональные углы поворота .
Поскольку на поверхности шара бесконечно много точек, Альфред Тарский использовал аксиому выбора для назначения начальных точек вращения . Полученные пять кусков имели настолько сложную форму, что не обладали измеримым объемом. Это позволило обойти закон сохранения материи в теории .
Альфред Тарский пытался опубликовать статью о том, что возведение бесконечного множества в квадрат не меняет его размер . Один редактор отклонил её, назвав утверждение очевидно ложным. Другой отклонил её, потому что оно казалось очевидно истинным.
🌐 Математическая мультивселенная 29:58
Споры вокруг аксиомы выбора продолжались более 30 лет. В 1938 году Курт Гёдель доказал, что добавление аксиомы выбора в систему не создает противоречий . В 1963 году Пол Коэн доказал, что аксиому выбора нельзя вывести из других правил. Она независима .
Это напоминает ситуацию с пятым постулатом Евклида о параллельных прямых. Математики могут выбирать вселенную для работы:
- В плоской геометрии параллельные линии не пересекаются.
- В сферической геометрии параллельных линий нет.
- В гиперболической геометрии их множество .
Сегодня аксиома выбора почти универсально принята. Она позволяет заменять 20 страниц сложных вычислений одной строчкой доказательства . Без неё современная математика практически не способна развиваться . Вопрос не в том, «правильна» ли аксиома, а в том, подходит ли она для решения конкретных задач исследователя.
