# Последняя задача IMO, не поддавшаяся ИИ: разбор и интуиция

Источник: https://www.youtube.com/watch?v=Nbwv5wHQoj0
Канал: 3Blue1Brown
Опубликовано: 18.09.2026

---

На Международной математической олимпиаде (IMO) 2025 года задача №6 стала настоящим камнем преткновения: менее 1% лучших молодых математиков мира смогли решить её полностью. Этот ролик от канала **3Blue1Brown** детально разбирает, почему именно эта головоломка оказалась не под силу современному искусственному интеллекту того времени и какие глубокие интуитивные прозрения требуются для её покорения.

## 🧠 Последний рубеж: почему ИИ спасовал перед задачей №6
[[JUMP:00:00]]

В 2025 году более 600 подростков собрались в Австралии на Солнечном побережье для участия в IMO [00:00]. Шестая задача олимпиады традиционно считается самой сложной, но в этот раз она стала знаковой: это была последняя задача, которую не смог решить ИИ [00:26]. Хотя уже в 2024 году система AlphaProof от Google DeepMind справлялась с четырьмя из шести задач (пусть и с помощью перевода условий на язык программирования Lean), а к 2026 году обычные чат-боты начали щелкать такие задачи как орешки, именно эта комбинаторная головоломка требовала особого подхода [01:42].

Ведущий канала 3Blue1Brown отмечает, что ИИ не хватило двух ключевых компонентов:

*   **Терпения:** Как отметил Танг Луонг из Google DeepMind, моделям сложно «прочувствовать» проблему, не пытаясь решить её мгновенно [03:13].
*   **Чувства красоты:** Поиск элегантного решения часто опирается на эстетическое восприятие математических структур, которое у машин пока отсутствует [03:40].

## 🧩 Условие задачи: плитки и пустые клетки
[[JUMP:04:09]]

Условие задачи звучит обманчиво просто:

1.  Дан квадратный грид (сетка) размером 2025x2025 единичных квадратов [04:09].
2.  Нужно разместить прямоугольные плитки разных размеров так, чтобы они не пересекались.
3.  **Ключевое правило:** в каждой строке и в каждом столбце должен остаться ровно один пустой (не покрытый плиткой) единичный квадрат [04:36].
4.  **Цель:** найти минимальное количество плиток, при котором это возможно, и доказать, что меньше использовать нельзя.

Для наглядности в видео используется сетка 10x10. Простая диагональная расстановка пустых клеток (X) требует $2n - 2$ плиток, но это явно не оптимальный вариант для олимпиады [06:19].

## 🏗️ Поиск оптимальной конструкции
[[JUMP:06:45]]

Решение сложных задач часто является «осадком опыта» [07:05]. Автор приводит аналогию с классической задачей о разрезании куба 3x3x3 на 27 маленьких кубиков. Даже если разрезать и перекладывать части, нельзя использовать менее 6 разрезов, потому что у центрального кубика 6 граней, и каждый разрез освобождает только одну [09:38].

Этот принцип «соответствия» применим и здесь. Если сфокусироваться на краях пустых клеток (X), можно заметить:

*   Каждая плитка может касаться максимум четырех пустых клеток (по одной на каждую сторону) [10:55].
*   Наиболее эффективная плитка — та, что касается четырех X своими углами в «ветряном» (windmill) паттерне [13:44].

Если использовать квадраты размера $k \times k$, можно собрать красивый, слегка наклоненный узор. Для сетки со стороной $k^2$ это дает конструкцию, использующую $k^2 + 2k - 3$ плиток [17:55]. Поскольку 2025 — это $45^2$, подстановка $k=45$ дает искомый численный ответ. По иронии судьбы, именно такой узор выложен на полу в аэропорту Солнечного побережья, где проходила олимпиада [16:58].

## 📉 Слабые границы и поиск доказательства
[[JUMP:18:51]]

Найти ответ — это лишь половина дела. Настоящий вызов IMO — строго доказать минимальность. Простая попытка связать плитки с краями пустых клеток дает лишь слабую нижнюю границу $k^2 - 1$ [20:06]. Проблема в том, что при простом подсчете (например, только правых ребер X) мы упускаем плитки, сгруппированные на противоположной стороне сетки [22:32].

Чтобы усилить доказательство, нужно использовать симметрию. Вместо того чтобы смотреть в одну сторону, автор предлагает разделить сетку на четыре региона (право, лево, верх, низ), используя две пересекающиеся ломаные линии, проходящие через пустые клетки [27:36].

## 📏 Теорема Эрдёша — Секереша
[[JUMP:39:42]]

Математически расстановка пустых клеток (где в каждой строке и столбце по одной X) — это перестановка [31:33]. Путь, соединяющий X и идущий вправо-вверх, называется **возрастающей подпоследовательностью**, а вправо-вниз — **убывающей** [31:47].

Для завершения доказательства необходимо доказать, что сумма длин самой длинной возрастающей ($LIS$) и самой длинной убывающей ($LDS$) подпоследовательностей всегда достаточно велика. Здесь на помощь приходит теорема Эрдёша — Секереша [39:58]:

1.  В любой последовательности из $n$ чисел произведение длин самой длинной возрастающей и самой длинной убывающей подпоследовательностей не меньше $n$ ($LIS \cdot LDS \geq n$) [38:12].
2.  Используя неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом, можно доказать, что их сумма всегда $\geq 2\sqrt{n}$ [38:39].

В случае сетки 2025x2025 это означает, что сумма длин двух путей будет как минимум $2 \cdot 45 = 90$. Это в точности соответствует количеству «лишних» плиток в оптимальной конструкции, что и завершает доказательство минимальности [45:20].

## 🎨 Математика как человеческий опыт
[[JUMP:45:56]]

В финале автор размышляет о смысле занятий математикой в эпоху ИИ. Хотя машины могут генерировать доказательства, они не создают «мотивированных объяснений» — нарративов, которые делают решение понятным и почти очевидным для человека [48:46].

Автор утверждает:

*   Цель математики — углубление человеческого понимания, а не просто накопление верных утверждений [49:00].
*   Доказательство — это лишь инструмент, побочный эффект развития мышления.
*   Научному сообществу пора начать ценить «мотивированные объяснения» так же высоко, как и сами доказательства [50:17].

Решение этой задачи в 2025 году не просто дало ответ, оно «согрело сердца» участников. Как процитировал автор одного из олимпийцев: «Ценность этой задачи — человеческая. Она греет мне душу спустя год после решения больше, чем любая диссертация» [51:22].