В новом интервью профессора Брайана Китинга выдающийся математик и лауреат Филдсовской премии Теренс Тао делится своим взглядом на природу математического мышления и неожиданные механизмы работы искусственного интеллекта. Собеседники обсуждают, почему простые алгоритмы больших языковых моделей оказываются столь эффективными, где пролегают границы математической индукции и как абстрактные геометрические теории находят применение в реальной жизни — от криптографии до ускорения МРТ-сканирования.
🔢 Закон Бенфорда и иллюзия случайности 0:00
В природе существуют статистические закономерности, которые позволяют легко отличить естественные последовательности чисел от искусственно созданных человеком. Самым известным примером является закон Бенфорда — эмпирическое правило, согласно которому примерно 30% всех чисел в мире начинаются с единицы.
Эта аномалия проявляется повсеместно: от численности населения стран (таких как Китай) до размеров состояний миллионеров, миллиардеров и дат рождения.
Как отмечает Теренс Тао, люди крайне плохо справляются с воссозданием истинной случайности. Пытаясь намеренно сфальсифицировать данные (например, в бухгалтерских книгах), человек распределяет начальные цифры равномерно, что и выдает подделку при математическом анализе.
🛑 Пределы математической индукции и конус Саймонса 1:05
Брайан Китинг поднимает вопрос о границах применимости математической индукции, ссылаясь на фундаментальную работу инвестора и математика Джима Саймонса в области минимальных поверхностей.
Минимальную поверхность можно представить наглядным физическим примером: если согнуть проволочную вешалку в петлю и опустить ее в мыльный раствор, образующаяся мыльная пленка примет форму с минимальным поверхностным натяжением. В геометрии было доказано, что такие гладкие минимальные поверхности существуют в пространствах размерности от 0 до 4, а также в 5, 6 и 7 измерениях. Однако Саймонс обнаружил поразительное исключение, доказав, что в восьмимерном пространстве эта закономерность нарушается.
Теренс Тао разъясняет разницу между философским и математическим пониманием индукции. В философии науки индукция означает экстраполяцию предсказаний на основе единичных экспериментов, тогда как в математике это строгий принцип, гарантирующий истинность утверждения для абсолютно всех натуральных чисел. Для этого должны быть железно доказаны базовый случай (для единицы) и шаг перехода от $n$ к $n+1$.
Тао приводит классическую аналогию с цепочкой домино: падение первой костяшки гарантирует падение всех последующих, но только при условии 100%-й надежности каждого звена. Если хотя бы на 97-й костяшке механизм даст сбой и она не опрокинет 98-ю, то вся цепь остановится, что иллюстрирует жесткость математических гарантий.
В случае с минимальными поверхностями Саймонс открыл объект, ныне называемый конусом Саймонса. По словам Тао, в пространствах ниже восьми измерений все минимальные поверхности остаются гладкими, так как поверхностное натяжение всегда можно уменьшить, «растянув» сингулярность. Однако начиная строго с восьми измерений возникает неустранимая сингулярность в виде конуса, вершину которого невозможно сгладить методами геометрической хирургии без увеличения общей площади поверхности.
📐 Проклятие размерности в дата-сайнс 5:32
Развитие современной науки о данных требует глубокого изучения многомерной геометрии, поскольку наша интуиция, полученная в трехмерном мире, в высоких размерностях оказывается полностью ложной. Теренс Тао приводит наглядный математический пример:
- Круг, вписанный в квадрат, занимает довольно большую часть его площади — около 75%.
- Трехмерный шар, вписанный в куб, по-прежнему относительно велик и занимает примерно половину его объема.
- Однако если взять тысячемерный куб и вписать в него тысячемерный шар, то сфера займет ничтожную долю пространства — около 0,0001%.
В высоких размерностях сферы становятся крайне неэффективными заполнителями пространства. Это критически важно при анализе облаков данных, состоящих из тысяч измерений.
При наличии погрешностей перед инженерами встает выбор: использовать среднеквадратичную ошибку (что эквивалентно размещению данных внутри многомерного шара) или оценивать наихудшую из тысячи ошибок (размещение в кубе). По словам ученого, в многомерных пространствах эти аппроксимации начинают радикально расходиться.
♟️ Магия доказательства от противного 6:37
Среди множества математических инструментов Теренс Тао выделяет доказательство от противного (proof by contradiction) как один из своих любимых методов. Он цитирует знаменитое высказывание английского математика Годфри Харди о том, что в шахматах игрок может пожертвовать пешку или фигуру, но математик в доказательстве от противного жертвует всей игрой сразу. Суть метода заключается в допущении, что финальное утверждение ложно, и последующем выводе из этого очевидного логического противоречия.
Хотя студенты вузов часто сталкиваются со сложностями при освоении этого метода, Тао отмечает, что дети на детской площадке интуитивно открывают его сами. Во время игры в то, кто назовет самое большое число, один из детей рано или поздно понимает, что на любое число соперника он может ответить «плюс один».
Тем самым ребенок на практике доказывает от противного бесконечность натурального ряда: если бы существовало «самое большое число», прибавление единицы мгновенно опровергло бы этот тезис.
Самым красивым типом доказательств гость считает те, которые связывают неожиданные области — например, дискретную и непрерывную математику или комбинаторику с физическими моделями. В качестве исторического примера Брайан Китинг напоминает о доказательстве иррациональности квадратного корня из двух, которое восходит к пифагорейцам и Евклиду. По мнению Тао, Евклид внес неоценимый вклад в цивилизацию, показав, что сложнейшие математические факты можно строго выводить из базовых аксиом.
🌀 Комплексные числа и мнимая единица в физике 9:40
Брайан Китинг выражает восхищение «неоправданной эффективностью математики» в описании физического мира, ссылаясь на знаменитый тезис Юджина Вигнера. В классической механике для описания координат и импульса используются скобки Пуассона, равные нулю для коммутирующих переменных. Однако при переходе в квантовый мир эти операторы перестают коммутировать, и их разность становится равной произведению фундаментальной константы (постоянной Планка) на мнимую единицу — квадратный корень из -1. Китинг задается вопросом: почему в фундаментальных физических законах столь доминирующее положение занимает именно квадратный корень, а не кубический или корень сотой степени?
Теренс Тао объясняет это фундаментальными свойствами алгебраической полноты. Пространство, которое мы воспринимаем, описывается вещественными числами, где сложение и умножение коммутативны. Главный изъян вещественных чисел заключается в том, что не всякое полиномиальное уравнение имеет в них корни: к примеру, уравнение $x^2 + 1 = 0$ не имеет решений на вещественной прямой, так как квадрат любого числа положителен.
При этом полиномы нечетных степеней (например, кубические) всегда имеют хотя бы один вещественный корень из-за непрерывности функции, меняющей знак от минус бесконечности до плюс бесконечности.
С высоты современного математического знания становится очевидно, что расширение системы вещественных чисел ровно в два раза дает важнейшее свойство алгебраической полноты. Так возникают комплексные числа, которые являются двухмерными. В алгебре удвоение размерности числовой системы достигается именно добавлением квадратного корня из отрицательного числа, которого раньше не существовало, в то время как для утроения потребовался бы кубический корень. По словам Тао, введение мнимой единицы выглядит наиболее естественным и изящным шагом для достижения идеальной алгебраической структуры.
🪐 Переосмысление канонов: Почему единица больше не простая 13:43
Собеседники обсуждают гибкость математических понятий. Теренс Тао напоминает, что около 100 лет назад число 1 официально считалось в академической среде простым числом. Брайан Китинг в шутку признается, что до сих пор считает единицу простой, точно так же, как продолжает считать Плутон полноценной планетой, несмотря на решения астрономов. Тао объясняет, что изменения в научной терминологии продиктованы поиском внутренней гармонии свойств объектов.
В теории чисел ключевым свойством простых чисел является основная теорема арифметики: любое натуральное число можно разложить на простые множители единственным образом (с точностью до порядка их следования). Например, число 12 — это всегда $2 \times 2 \times 3$. Простые числа выступают в роли неделимых «атомов умножения».
Если бы мы оставили единицу в составе простых чисел, уникальность разложения была бы безвозвратно потеряна, так как 12 можно было бы записать как $1 \times 2 \times 2 \times 3$, $1 \times 1 \times 2 \times 2 \times 3$ и так далее. Чтобы избежать бесконечного числа исключений из фундаментальной теоремы, математики приняли конвенцию исключить единицу из категории простых чисел, что, по мнению Тао, отражает адаптацию человеческих соглашений под объективную реальность.
🔐 Близнецы-простые и криптографическая уязвимость 15:55
Теренс Тао, известный своими исследованиями в области простых чисел, отмечает, что даже базовые вопросы в этой сфере остаются без окончательного ответа. Более 2000 лет назад Евклид доказал бесконечность простого ряда, однако гипотеза о существовании бесконечного числа простых чисел-близнецов (пар простых чисел, отличающихся ровно на 2, например, 11 и 13) остается недоказанной на протяжении 300 лет. С помощью суперкомпьютеров ученые нашли триллионы таких пар, но строгого математического доказательства их бесконечности до сих пор нет.
Математики предполагают, что распределение простых чисел демонстрирует свойства псевдослучайности. В отличие от истинной случайности, детерминированные простые числа можно заново сгенерировать по фиксированному компьютерному алгоритму. Однако статистически, за вычетом очевидных тривиальных закономерностей (например, того, что все простые числа крупнее двойки являются нечетными), они неотличимы от случайного шума.
Эта псевдослучайность лежит в основе современной криптографии, защищающей интернет-трафик, криптовалютные транзакции и банковские переводы. Алгоритмы шифрования смешивают данные, рассчитывая на то, что в распределении простых чисел отсутствуют скрытые паттерны.
По мнению Тао, если в будущем исследователи внезапно обнаружат неизвестные закономерности в простых числах, это создаст колоссальную уязвимость для мировых систем кибербезопасности. Гость напоминает, что в истории уже бывали случаи, когда обнаружение скрытых структур в других математических объектах заставляло инженеров экстренно мигрировать на новые криптосистемы.
⚛️ Квантовые вычисления и теория сложности 19:49
Брайан Китинг указывает на инверсию тезиса Вигнера — «неоправданную эффективность физики в математическом мире», приводя в пример потенциал квантовых компьютеров в разложении чисел на множители (факторизации). Теренс Тао соглашается, что квантовые вычисления требуют принципиально иной парадигмы мышления от программистов.
Если классический компьютер оперирует последовательным переключением битов (0 и 1), то состояние квантовой системы задается волновой функцией, а операции над ней представляют собой умножение колоссальных матриц. Квантовая механика накладывает жесткие ограничения: разрешены только линейные и обратимые во времени операции, что требует разработки специфической теории обратимых вычислений и сложных систем коррекции ошибок.
Хотя Тао признается, что на данный момент ему неизвестны примеры прямого влияния квантовых систем на развитие чистой математической теории, классическая теория вычислительной сложности уже оказала на нее огромное воздействие. Ранее математиков интересовал лишь бинарный статус утверждения (истинно или ложно, доказуемо или недоказуемо).
С развитием ИТ возник более тонкий критерий истины — вычислимость объекта, разделяющая алгоритмы на полиномиальные и экспоненциальные по времени выполнения. Стремление не просто доказать существование объекта, но и найти эффективный способ его вычисления порождает новые математические методы и дает понимание, какое из двух разных доказательств является более сильным и эффективным.
🧠 Нейросети в роли ассистентов: От теории узлов до теста Китинга 24:09
Теренс Тао утверждает, что искусственный интеллект постепенно начинает помогать в совершении математических открытий, хотя текущие модели обладают фундаментальной слабостью — их рассуждения носят вероятностный характер и не имеют жесткого логического заземления. ИИ может имитировать логику математика, но, подобно волнующемуся студенту у доски, легко «сходит с рельсов» при отсутствии базового понимания сути решаемой проблемы.
Тем не менее, в связке с экспертом большие языковые модели крайне полезны. Они выступают в роли эффективного инструмента для обзора литературы. Из условных 12 способов решения сложной задачи человек в моменте может помнить только 6, и модель способна напомнить об остальных. Параллельно она может галлюцинировать еще 3 несуществующих метода, что требует обязательной верификации человеком. В будущем Тао выражает надежду на интеграцию LLM со специализированным софтом для автоматической проверки доказательств, который будет принудительно фильтровать галлюцинации.
На вопрос Китинга о том, способны ли нейросети воспроизвести великие доказательства прошлого (например, доказательство Эндрю Уайлса для Великой теоремы Ферма или работы самого Тао по уравнениям Навье-Стокса), гость отвечает, что ИИ делает это за счет «загрязнения» (contamination) обучающей выборки. Модели просто воспроизводят зазубренный текст учебников.
Брайан Китинг предлагает шуточный «тест Китинга» (аналог теста Тьюринга): ИИ будет признан полноценным разумом тогда, когда сможет самостоятельно генерировать ранее неизвестные физические предсказания, проверяемые учеными.
Тао приводит успешный пример применения нейросетей старого поколения в теории узлов. Исследователи скормили ИИ базу данных из 1 миллиона узлов. Система обнаружила скрытую высокоточную корреляцию между сигнатурой узла (одним из инвариантов) и группой геометрических гиперболических инвариантов, хотя ранее математики не предполагали наличия такой связи.
Изначально это было «черным ящиком», но ученые начали экспериментировать с моделью: они крутили виртуальные «ручки» параметров и выявили, что из 20 входных переменных критически важными были только 3, а остальные 17 оказались второстепенными. Это позволило математикам отбросить лишнее, сформулировать и строго доказать новую красивую теорему.
🔮 Великая загадка LLM: Матричное умножение и мезомасштабная структура 30:22
Многие сторонники концепции «технологического апокалипсиса» пугают общество тем, что ИИ выйдет из-под контроля и превратит человечество в груду канцелярских скрепки. Однако Теренс Тао подчеркивает, что сама математика, лежащая в основе обучения и работы современных LLM, тривиальна: студенту бакалавриата достаточно знать матричное умножение на базовом уровне и основы математического анализа.
Настоящая научная загадка заключается не в том, как устроены эти модели, а в том, почему они работают поразительно хорошо для одних задач и полностью проваливаются на других. Ученые сегодня не имеют даже эвристических правил для предсказания их эффективности и вынуждены полагаться на эмпирические эксперименты.
Причина этого, по мнению Тао, кроется в природе обучающих данных. Математика отлично описывает абсолютно случайные последовательности (через теорию вероятностей) и жестко структурированные периодические данные. Однако естественный человеческий язык — это частично структурированная информация.
У математиков сегодня просто нет адекватного аппарата для анализа частично структурированных объектов. Тао проводит аналогию с физикой: ученые хорошо понимают макромир (механику сплошных сред, где все усреднено) и микромир (атомарную физику отдельных молекул), но на мезомасштабе возникают сложнейшие эмерджентные структуры, такие как биологические клетки, для математического описания которых у нас критически не хватает инструментов.
🗣️ Математика как язык абсолютной эффективности 33:09
Рассуждая о знаменитой фразе Галилео Галилея о том, что книга природы написана на языке математики, Теренс Тао соглашается, что математика действительно функционирует как язык общения ученых. Однако ее ключевое отличие от естественных языков заключается в жесткой эволюции в сторону максимальной эффективности аналитического описания.
Человеческий язык создан для передачи эмоций, нюансов, разочарования, тогда как математика оптимизируется ради сжатия описания Вселенной в элегантные и минималистичные формулы.
По словам Тао, если мы исходим из допущения, что Вселенная управляется упорядоченными законами природы, а не хаотичной волей некоего агента, то оптимизация языка неизбежно приводит к раскрытию самой сути мироздания. Именно этим гость объясняет феномен Вигнера: разработанный математиками аппарат искривленных пространств для чистой геометрии позже идеально подошел Альберту Эйнштейну для формулирования общей теории относительности и описания пространства-времени.
🏛️ Платоновский идеал: Изобретение или открытие? 36:21
В классическом споре о том, является ли математика изобретением человека или открытием объективно существующей реальности, Теренс Тао занимает компромиссную позицию, выбирая вариант «и то, и другое». По его мнению, во Вселенной существует врожденная глубокая математическая структура, которую человечество пытается открыть.
Однако для этого людям приходится изобретать математический язык, который изначально несовершенен и зачастую фокусируется на ложных ориентирах. По мере оптимизации и повышения эффективности этот язык неизбежно конвергирует к платоновскому идеалу чистой математики, что в финальной точке ощущается исследователями именно как фундаментальное открытие.
🎓 Образование эпохи ИИ: Борьба с идеальной формой ложных данных 37:12
Как педагог Теренс Тао убежден, что система образования требует радикальной перестройки под давлением технологического прогресса. Традиционные домашние задания для студентов бакалавриата сегодня без труда выполняются нейросетями. В этих условиях ключевым навыком становится верификация и критический анализ информации.
В прошлом низкое качество содержания текста обычно коррелировало с плохой визуальной подачей (например, небрежным оформлением), что служило первичным маркером для читателя. Сегодня возможности ИИ по генерации безупречной формы (дизайна, стилистики видео на YouTube или верстки учебников) колоссально опережают контроль качества самого контента.
На выходе получаются идеально выглядящие материалы, переполненные фундаментальными ошибками. Тао поддерживает эксперименты преподавателей, которые дают студентам неверный ответ ChatGPT на задачу и просят его подробно отрецензировать и исправить. По его мнению, знание должно перестать быть пассивным продуктом, принимаемым на веру от авторитетов.
Что касается масштабирования науки, Тао видит главную ценность ИИ не в решении сложнейших задач уровня Филдсовской премии, а в отработке «длинного хвоста» (long tail) миллионов задач средней сложности. Человеческий ресурс ученых крайне ограничен, и аспирантов невозможно масштабировать по этическим или юридическим соображениям. По оценке Тао, если ИИ возьмет на себя этот пласт и решит хотя бы 10% из миллиона рутинных математических проблем, наука получит 100 000 решенных задач, что станет колоссальным прорывом.
💼 Социология науки и бремя «лучшего математика в мире» 41:46
В настоящее время главным приоритетом своей работы Теренс Тао называет модернизацию рабочих процессов в математике. Гость стремится сделать науку более инклюзивной, коллективной и открытой для широкой публики, отойдя от консервативной модели «доска, перо и бумага», которая не менялась веками.
Традиционно математики сотрудничают группами по 2-3 человека, поскольку верификация каждого шага доказательства требует колоссальных усилий экспертов, что делало невозможным краудсорсинг до недавнего времени.
Дополнительным стимулом для поиска новых организационных моделей для Тао стали проблемы с финансированием: в середине 2025 года администрация Трампа провела жесткие сокращения бюджетов на теоретические исследования в UCLA, сделав финансовую основу науки крайне нестабильной.
Брайан Китинг озвучивает вопрос коллеги Тао, Серджио Клайнермана, о том, насколько тяжело молодому ученому было нести бремя негласного титула «лучшего математика планеты» после получения Филдсовской премии в 2006 году. Тао признает, что тот период резко изменил его жизнь: посыпались приглашения от посольств и требования войти в состав многочисленных правительственных комитетов.
Однако математика обладает мощным заземляющим эффектом для эго: статус и слава не имеют значения, когда ты стоишь у доски. Проверить нужно каждый шаг, и аргумент «верьте мне, я знаменит» в этой науке не работает. Тао иронично замечает, что знает гораздо больше задач, которые он не способен решить, чем тех, что ему поддались, что эффективно удерживает его от гордыни.
⏳ Стареют ли математики: Мудрость против грубой силы 44:59
Обсуждая популярный стереотип о том, что математики создают свои лучшие работы строго до 30 лет, Теренс Тао отмечает разнообразие карьерных траекторий. Сам Тао двигался по стандартному треку вундеркинда, перескакивая через классы в школе и рано заявив о себе. При этом Джим Саймонс утверждал, что дело не в биологическом возрасте, а в условных «10–20 годах продуктивного окна» после начала активной работы.
Тао с теплотой вспоминает своего научного руководителя в Принстоне, знаменитого математика Шинтана Яу. Будучи аспирантом, Тао тратил недели, применяя безумное количество энергии и брутфорс-методов для решения задач, и регулярно приходил к шефу с исписанной доской неудачных попыток.
Яу смотрел на доску в течение 10 секунд и спокойно говорил: «Твоя трудность в точности совпадает с проблемой такого-то автора в этой статье». Он доставал из шкафа нужный препринт, который мгновенно снимал преграду.
С возрастом, по мнению Тао, на смену юношескому брутфорсу приходит колоссальная профессиональная мудрость, позволяющая решать задачи изящно. Теперь Тао с удовольствием проделывает этот трюк со своими собственными аспирантами, замыкая круг преемственности.
🎮 Экономика и шахматы в чистой аналитике 47:10
Математическое мышление обогащается за счет заимствования концепций из совершенно других дисциплин. Теренс Тао признается, что часто использует экономические метафоры для доказательства сложных неравенств: если нужно доказать, что $X < Y$, он представляет это как задачу покупки товара $X$ при наличии капитала $Y$, оценивая выгодность бартерных сделок через промежуточный товар $Z$.
Сложные для студентов дельта-эпсилон доказательства в математическом анализе Тао рекомендует воспринимать как пошаговую настольную игру. Оппонент делает ход, предлагая значение эпсилон, а задача математика — выстроить симметричную контрстратегию, подобрав правильную дельту для защиты своей позиции.
🧭 Компас Галилея и калибровочная теория денег 49:59
Брайан Китинг демонстрирует в студии исторический артефакт — второе издание книги Галилео Галилея «Операции с геометрическим и военным компасом» 1649 года выпуска с оригинальной подписью автора, отмечая, что стоимость редкого первого издания (1601 года) превышает годовые зарплаты профессоров Калифорнийского университета. Этот инструмент представлял собой ранний аналог логарифмической линейки и использовался для практических артиллерийских и топографических вычислений. Китинг зачитывает главу, где Галилей описывает алгоритм быстрого перевода флорентийских золотых скудо в лиры.
Этот исторический пример наталкивает Теренса Тао на глубокую аналогию с калибровочной теорией (gauge theory) в современной физике и математике. Многие величины в мире скалярны, но лишены естественной единицы измерения.
Богатство человека можно измерить в долларах или евро, но сами по себе эти числа — лишь условные координаты, зависящие от выбора системы отсчета. Калибровочная теория как раз описывает поведение величин при изменении единиц измерения или координатных осей в зависимости от положения наблюдателя (например, при перемещении из одной страны в другую).
В физике векторы электромагнитного поля на самом деле являются направлениями в абстрактном пространстве, меняющимися при перемещении. Математика калибровочной инвариантности изучает свойства, остающиеся неизменными при смене калибровки.
Тао приводит пример: если путешественник переводит доллары в евро в Европе, а затем возвращается и конвертирует их обратно, из-за комиссий банков он получит меньшую сумму. Этот финансовый люфт аналогичен математическому понятию кривизны (curvature) в гипер-валютном расслоении нашего мира.
🧵 Струны, гравитация и кризис физических моделей 55:21
Собеседники обсуждают статус современной теоретической физики на примере Эдварда Виттена — единственного физика, удостоенного Филдсовской премии. Виттен внес колоссальный вклад в квантовую гравитацию и теорию струн, которой исполнилось уже около 60 лет. Китинг критически замечает, что теория струн оперирует исключительно в сверхвысоких размерностях, для которых у человечества нет никаких экспериментальных подтверждений.
Теренс Тао напоминает, что науке приходилось радикально менять картину реальности множество раз: от коперниканской революции до эйнштейновской относительности и квантовой механики. Действующая стандартная модель физики стала «жертвой собственного успеха» — она идеально объясняет 99% наблюдаемых феноменов, но полностью ломается на масштабах сингулярности Большого взрыва, где математика теряет непротиворечивость. Идея о том, что пространство-время является гладким многообразием, несовместима с квантовыми наблюдениями.
По мнению Тао, главная проблема теории струн заключается в избыточной гибкости: она предлагает бесконечное количество математических кандидатов на замену старой модели, но не дает уникального канонического решения, соответствующего эмпирическим данным. При этом гость подчеркивает важность жесткого разделения объективной реальности и наших математических моделей реальности.
Уравнения Эйнштейна точны математически, но физика начинается там, где модель интерфейсом соединяется с реальностью. Ньютоновская гравитация технически опровергнута, но остается прекрасной моделью для расчета орбит комет и планет.
🏥 Компрессионное зондирование: Как чистая математика ускорила МРТ в 10 раз 59:41
В финале встречи Брайан Китинг рассказывает, как Теренс Тао помог совершить революцию в прикладной медицине. Общаясь со статистиками и инженерами, Тао натолкнулся на прикладную проблему обработки изображений, которую они превратили в линейное уравнение. Изучив задачу, Тао изначально пытался ее опровергнуть, не поверив в аномально высокое качество реконструкции картинок при минимальном объеме измерений.
Разгадав математический механизм, Тао с коллегами опубликовали работу по методу компрессионного зондирования (compressed sensing). Сегодня эта чистая математическая теория внедрена крупнейшими мировыми производителями медицинских томографов, что позволило ускорить процедуру МРТ-сканирования в 10 раз.
Этот пример иллюстрирует концепцию Вигнера об эффективности фундаментальной науки. Тао проводит историческую параллель с Клодом Шенноном, который разработал теорию сложности коммуникаций и сформулировал «предел Шеннона» задолго до цифровой революции. Спустя десятилетия, когда возникла необходимость в сотовой связи и устранении интерференции мобильных телефонов, формулы Шеннона легли в основу планирования частот корпорациями.
По словам математика, проводить фундаментальные исследования с пером и бумагой гораздо дешевле, чем развернуть инфраструктуру стоимостью в миллиард долларов и постфактум осознать, что у нее нет необходимой емкости. Математика всегда точно очерчивает пределы возможного.
