В 2000 году итальянский математик Пьерджорджо Одифредди включил вопрос о существовании нечётных совершенных чисел в список четырёх самых актуальных открытых проблем математики. Эта загадка остаётся нерешённой уже более двух тысячелетий . Математики проверили числа вплоть до 10 в степени 2200, но так и не обнаружили ни одного подходящего примера .
🔢 Магия совершенных чисел 0:51
Совершенным числом называют натуральное число, которое равно сумме всех своих делителей, исключая само это число. Например, делителями числа 6 являются 1, 2 и 3. Их сумма (1 + 2 + 3) даёт 6 .
Свойства первых совершенных чисел:
- Число 10 не является совершенным, так как сумма его делителей (1, 2, 5) равна 8 .
- В диапазоне до 10 000 существуют только четыре таких числа: 6, 28, 496 и 8128 .
- Все известные на сегодня совершенные числа заканчиваются на 6 или 8 и являются чётными .
Эти числа также называют треугольными, так как их можно представить в виде суммы последовательных натуральных чисел. Кроме шестёрки, каждое из них является суммой последовательных кубов нечётных чисел . В двоичной системе счисления они записываются как ряд единиц, за которым следует ряд нулей .
📐 Формула Евклида и простые числа Мерсенна 4:03
Около 300 года до нашей эры Евклид обнаружил закономерность для создания совершенных чисел. Он предложил суммировать последовательные степени двойки (1, 2, 4, 8...). Если сумма оказывается простым числом, то умножение этой суммы на последнее слагаемое даёт совершенное число .
Математическая структура формулы:
- Запишем сумму как $2^{p}-1$.
- Если этот результат — простое число, умножаем его на $2^{p-1}$.
- Полученное значение всегда будет чётным совершенным числом .
Спустя 400 лет Никомах Герасский выдвинул пять гипотез о таких числах. Он полагал, что n-е совершенное число имеет n знаков и что они всегда чередуются по окончанию на 6 и 8 . В XIII веке средневековый математик Ибн Фаллус опроверг эти предположения, найдя пятую совершенную величину, состоящую из восьми цифр .
В XVII веке Марен Мерсенн начал систематически изучать простые числа вида $2^{p}-1$. Сегодня их называют простыми числами Мерсенна . Поиск новых чётных совершенных чисел напрямую зависит от нахождения этих редких простых чисел.
🎓 Решающий вклад Леонарда Эйлера 10:21
Леонард Эйлер начал работу над теорией чисел в 1729 году по совету Кристиана Гольдбаха. Он совершил три крупных прорыва в изучении совершенных чисел . Сначала он верифицировал восьмое совершенное число, доказав простоту числа $2^{31}-1$ .
Для дальнейших исследований Эйлер применил сигма-функцию — инструмент, который суммирует все делители числа, включая само число. Для любого совершенного числа значение этой функции равно удвоенному самому числу .
Достижения Эйлера:
- Доказательство того, что каждое чётное совершенное число обязано иметь форму, предложенную Евклидом .
- Определение структуры нечётных совершенных чисел (если они существуют).
- Вывод о том, что такое число должно быть произведением квадрата целого числа и одного простого числа в нечётной степени .
Уильям Данхэм охарактеризовал объединение идей Евклида и Эйлера как одно из величайших математических сотрудничеств в истории .
💻 Эпоха суперкомпьютеров и проект GIMPS 16:23
В 1903 году Фрэнк Нельсон Коул выступил на заседании Американского математического общества. Без единого слова он вычислил значение $2^{67}-1$ и показал его делители, на поиск которых у него ушло три года работы по воскресеньям . Зал встретил его выступление аплодисментами.
С 1952 года поиск переместился на ЭВМ. Рафаэль Робинсон использовал компьютер SWAC, чтобы найти пять новых чисел Мерсенна за 10 месяцев . В 1996 году Джордж Волтман запустил GIMPS — проект распределённых вычислений, позволяющий любому добровольцу использовать мощность своего ПК для поиска .
Результаты работы GIMPS:
- Найдено 17 новых простых чисел Мерсенна .
- В 2017 году участник проекта Джонатан Пейс обнаружил 50-е число Мерсенна, содержащее более 23 миллионов знаков .
- За нахождение первого простого числа из миллиарда цифр назначен приз в 250 000 долларов .
🕵️ Поиск нечётных совершенных чисел и «числа-спуфы» 22:32
Поскольку примеры нечётных совершенных чисел до сих пор не найдены, математики пытаются доказать их невозможность через систему ограничений. Паскаль Ошем и Майкл Рао в 2012 году доказали, что такое число должно быть больше $10^{1500}$ . Современные данные подняли этот порог до $10^{2200}$.
Пейс Нильсен и его команда из Университета Бригама Янга используют для исследований числа-спуфы . Это искусственные математические конструкции, которые ведут себя как совершенные числа, но содержат в себе «фальшивые» простые множители.
Аргументы против существования:
- Карл Померанс разработал эвристический аргумент, согласно которому нечётных совершенных чисел не существует .
- Вероятность найти такое число в интервале от $10^{2200}$ до бесконечности крайне мала .
- Однако этот же аргумент предсказывает отсутствие очень больших чётных чисел, что противоречит другим гипотезам .
🛠 Зачем изучать «бесполезную» математику? 27:37
На текущий момент у проблемы совершенных чисел нет практического применения в индустрии . Тем не менее, история науки показывает, что теоретические изыскания часто становятся фундаментом для технологий будущего.
Профессор Пейс Нильсен отмечает, что работа над сложными задачами развивает новые методы мышления. В XX веке фундаментальная теория чисел стала основой современной криптографии, защищающей государственные секреты и личные сообщения . Общая теория относительности Эйнштейна опиралась на неевклидову геометрию, которая создавалась как чисто интеллектуальное упражнение .
Сегодня над проблемой совершенных чисел активно работают всего около 15 человек в мире . Пейс Нильсен призывает молодых математиков не бояться этой древней задачи, утверждая, что даже небольшой прогресс может привести к значимым открытиям.
