Математик и популяризатор науки Евгения Ченг выступила в Королевском институте (The Royal Institution) с лекцией, посвященной выходу своей новой книги «Реальна ли математика?». Она рассказала, как простые детские вопросы формируют базу для серьезных академических исследований, и почему традиционная система образования отталкивает людей от точных наук. Автор предлагает переосмыслить математику, превратив её из набора утилитарных алгоритмов в инструмент для глубокого понимания мира и искусства, доступного каждому.
🧠 Сила наивных вопросов и миф о «математическом складе ума» 0:00
Для Евгении Ченг Королевский институт (The Royal Institution) занимает особое место в личной истории: впервые она попала сюда в возрасте 11 лет благодаря школьному учителю, который привёл её на субботние утренние мастер-классы в Брайтоне. Этот опыт открыл для неё мир свободной, творческой математики и позволил встретить единомышленников. Спустя годы она вернулась на эту сцену, чтобы представить свою книгу «Реальна ли математика? Как простые вопросы ведут нас к глубоким истинам математики» (Is Maths Real? How Simple Questions Lead Us to Mathematics' Deepest Truths).
По словам Ченг, книга родилась из наблюдений за тем, как много людей бросают занятия математикой из-за травмирующего школьного опыта. В классах их базовые вопросы часто называли «глупыми» или неуместными, требуя лишь механического выполнения домашних заданий для сдачи тестов. На самом же деле, как утверждает исследовательница, именно фундаментальные вопросы двигают вперед всю современную науку:
- Почему $1 + 1 = 2$?
- Почему нельзя делить на ноль?
- Откуда берется математика и реальна ли она?
Ченг убеждена, что огромный разрыв между простотой формулировки вопроса и сложностью поиска ответа свидетельствует о колоссальной силе человеческого любопытства.
Разрушение генетических стереотипов
Исследовательница решительно оспаривает концепцию разделения людей на обладающих «математическим складом ума» и лишённых его. По её мнению, не существует никакого особого гена, предопределяющего математические способности.
Кажущаяся «врожденной» одаренность обычно объясняется тем, что взрослые с раннего детства создавали для ребенка подходящую интеллектуальную среду. Самой Евгении Ченг математику с малых лет прививала мать, благодаря чему девочка пришла в школу, уже комфортно чувствуя себя среди абстрактных концепций. Поскольку большинство детей лишены такой домашней поддержки, Ченг видит свою миссию в том, чтобы стать понимающим и открытым собеседником для каждого.
Кризис школьного обучения и страх ошибок
По мнению Ченг, дети теряют природную любознательность по мере взросления под давлением школьной системы. Пятилетние дети бурно радуются урокам математики и тянут руки, чтобы задать вопрос, тогда как 17-летние подростки на тех же уроках выглядят смущенными и замкнутыми.
Ченг подчеркивает, что не винит в этом учителей. По её мнению, педагоги зажаты в жесткие рамки, созданные некомпетентными сменяющими друг друга правительствами, которые заставляют школы ориентироваться исключительно на стандартизированные тесты.
В качестве иллюстрации Ченг приводит случай из соцсетей, когда американская школьница записала видео со своими вопросами о математической логике. Интернет-пользователи массово завалили её оскорблениями, называя «тупой». Однако профессиональные математики и физики, включая саму Ченг, заступились за девушку, отметив глубину её мышления.
Публикация ответов в СМИ вызвала неожиданно мощный терапевтический эффект по всему миру. Ченг рассказывает, что получила множество писем от успешных взрослых мужчин — например, от замдиректора школы из Нью-Йорка, — которые плакали в своих машинах на парковке, впервые в жизни получив признание того, что их детские «глупые» вопросы имели научный смысл.
🔄 Законы коммутативности: от счетных блоков до ритмов фламенко 9:11
Периодически в интернете становятся вирусными математические задачи-уловки (вроде $8 \div 2(2+2)$), вызывающие яростные споры. Евгения Ченг заявляет, что ни один уважающий себя математик не станет писать формулы в таком виде. По её оценке, подобные примеры относятся не к математике, а к орфографии, и создаются исключительно ради введения людей в заблуждение, тогда как истинная наука призвана объяснять глубокие взаимосвязи.
В качестве примера подлинного математического разбора Ченг предлагает рассмотреть переместительный (коммутативный) закон на примере равенства $2 \times 3 = 3 \times 2$. Обычный ответ «потому что в обоих случаях получается 6» не объясняет сути явления.
Ченг предлагает использовать визуальный метод, популярный при работе с маленькими детьми:
- Если разложить счетные блоки в виде двух рядов по три блока в каждом, мы получим наглядное представление операции $2 \times 3$.
- Если повернуть эту платформу с блоками на 90 градусов или просто посмотреть на нее сбоку, мы увидим три колонки по два блока, то есть $3 \times 2$.
Такое объяснение Ченг называет структурным и глубоким, так как оно работает для любых чисел, независимо от итогового результата.
Математика в музыке
Коммутативность можно не только увидеть, но и услышать через музыкальные полиритмы. Ченг демонстрирует это на примере песни Мориса Равеля «Reveille», посвященной Дон Кихоту. В этом произведении композитор использует испанский колорит, выстраивая структуру на чередовании двух ритмических рисунков:
- Ритм «раз-два-три, раз-два-три» ($2 \times 3$).
- Ритм «раз-два, раз-два, раз-два» ($3 \times 2$).
Поскольку обе фразы занимают одинаковый отрезок времени, они создают устойчивый полиритмический рисунок, характерный для музыки фламенко.
Тот же самый математический принцип, как отмечает лектор, заложен в знаменитой песне «America» из мюзикла Леонарда Бернстайна «Вестсайдская история» (West Side Story). Ченг лично исполнила вокальную партию Равеля на французском языке под собственную фортепианную видеозапись, добавив шутливую ремарку о том, что обещания умереть, если тебя не любят, в реальной жизни звучат довольно токсично.
🌌 Высшие измерения, косы и выпечка хлеба 14:49
Понятие коммутативности применимо ко многим жизненным процессам, где порядок действий имеет критическое значение. Ченг шутит о «коммутативности на кухне»: если вы сначала ничего не сделаете, а потом приготовите суфле, результат будет отличным; но если вы приготовите суфле, а потом решите ничего не делать, ваше суфле неминуемо опадет.
Еще один пример — философия толерантности: Ченг полагает, что проявление терпимости к нетерпимости эквивалентно проявлению нетерпимости к терпимости, поскольку в обоих случаях вы позволяете деструктивным явлениям процветать. Для обозначения таких тонких, непрямых соответствий математики используют специальный знак равенства с волной сверху ($\cong$).
Геометрия пространственного перемещения
Ченг объясняет, что коммутативность — это концепция высших измерений. Если расположить синие и красные счетные блоки на одноммерной прямой линии, то для того, чтобы поменять их местами (пронести один сквозь другой), нам обязательно потребуется задействовать второе измерение, совершая обходной маневр на плоскости.
В то же время свойство ассоциативности (сочетательный закон со скобками, например, $(4 + 2) + 3 = 4 + (2 + 3)$) не требует выхода в высшие пространства. Его можно легко продемонстрировать в одноммерном пространстве, просто сдвигая костяшки на обычных детских счетах (abacus). Из этого наблюдения вырастает сфера научных интересов самой Евгении Ченг — теория категорий высших измерений, где ассоциативность оказывается намного более простой и базовой структурой, чем коммутативность.
Теория кос и многомерные пространства
Пространственные траектории движения объектов можно зафиксировать в виде косичек. Если при перемещении блоков фиксировать их пути, то обход синего блока сзади красного или спереди него даст две принципиально разные косы, напоминающие переплетенные нити или волосы.
Ченг делится детским воспоминанием о том, как завидовала подругам, носившим аккуратные «шведские косы» (когда пряди при плетении пропускаются под центральной нитью), в то время как сама умела плести только стандартные «французские косы» (пряди идут над центральной нитью). В её текущих исследованиях по теории категорий этот тривиальный вопрос приобретает фундаментальный масштаб: ученые ищут условия, при которых данные конфигурации становятся тождественными.
Ченг поясняет:
- В четырехмерном пространстве strands (нити) можно беспрепятственно пропустить друг сквозь друга, временно уйдя в четвертое измерение.
- Однако направление этого ухода (в одну или в другую сторону четырехмерного пространства) снова создает различие.
- Для решения этой дилеммы математикам приходится привлекать уже пятое измерение и так далее по цепочке усложнения.
Дополнительно Ченг упоминает геометрию плетения хлеба (халы), рассказывая (со ссылкой на интернет-источники) мрачную швейцарскую легенду. Согласно ей, в древности преданные жены должны были заживо хоронить себя в гробницах вместе с умершими мужьями. Позже традиция смягчилась: женщинам позволили оставлять в могиле отрезанную косу, а со временем человеческие волосы заменили на плетеный пшеничный хлеб.
🛑 Почему деление на ноль — это действительно трудно 22:54
Многие дети интуитивно предполагают, что результатом деления на ноль должна быть бесконечность. Ченг подтверждает, что в некоторых абстрактных математических мирах такое допущение корректно, причем в зависимости от направления движения можно получить как положительную ($+\infty$), так и отрицательную ($-\infty$) бесконечность.
Однако главная проблема, по мнению лектора, заключается в том, что в обществе недооценивают базовую сложность операции деления как таковой. Ченг напоминает, что именно на колоссальной вычислительной сложности поиска числовых делителей и факторов строится вся современная интернет-криптография и защита данных.
Существует два принципиально разных способа осмыслить деление (например, $12 \div 6$) на практике:
- Дистрибутивный (распределение): взять 12 игральных карт и поочередно раздать их шестерым людям. Каждый получит по 2 карты.
- Группирующий (кучеобразование): взять те же 12 карт и разложить их в стопки строго по 6 штук в каждой. Получится 2 стопки.
Для обывателя неочевидно, почему два столь разных процесса приводят к одинаковому числу. В строгой высшей математике для их описания вводятся раздельные понятия «деления справа» и «деления слева», требующие сложных логических выкладок для доказательства эквивалентности.
Необратимость процессов в математике и жизни
С абстрактной точки зрения деление определяется как операция, инвертирующая (отменяющая) умножение. Инверсия — это попытка вернуть систему в исходное состояние, что удается далеко не всегда. Ченг приводит бытовые примеры: замороженную еду можно легко вернуть в прежнее состояние путем размораживания, но разбитый стеклянный бокал восстановить практически невозможно.
Математический смысл запрета деления на ноль кроется в механизме шифрования. Умножение любого числа на ноль стирает всю информацию, превращая результат в ноль. Это эквивалентно коду, который заменяет абсолютно все буквы в тексте на символ «X». Вернуть исходные данные из такого нуля невозможно, так как утеряна точка отправления.
Ченг проводит глубокую параллель между математической инверсией и человеческой жизнью. Вместе со студентами она пришла к выводу, что в реальном мире ни одно действие невозможно полностью инвертировать, поскольку люди необратимо накапливают опыт и травмы.
В качестве примера она приводит трагическую судьбу гениального взломщика кодов Алана Тьюринга, который приходится Евгении «математическим прадедушкой» (он был научным руководителем руководителя её научного руководителя). В 1952 году Тьюринг был осужден за гомосексуальность, подвергнут химической кастрации и вскоре погиб. Лишь в 2012 году премьер-министр Гордон Браун официально объявил о его посмертном помиловании. Ченг солидарна с мнением критиков, отмечавших, что никакой юридический акт помилования не способен аннулировать сам исторический факт чудовищной несправедливости и искалеченной человеческой жизни.
📈 Назначение формул: от разрезанного ролла до циклоиды 29:49
Преподавая в Школе Института искусств Чикаго (School of the Art Institute of Chicago), Евгения Ченг регулярно спрашивает студентов-художников, что именно оттолкнуло их от математики. Помимо таблиц умножения, главным барьером они называют формулы, которые воспринимались ими как «космические корабли пришельцев, приземлившиеся на голову», требующие бессмысленного зазубривания. Сама Ченг считает, что формулы не нужно зубрить, если понятна их глубинная суть.
Популяризатор делится забавным случаем с научной конференции. На обед участникам выдали упакованные роллы (wraps), подрезанные наискосок (по диагонали). Развернув лаваш, Ченг с изумлением обнаружила, что линия среза цилиндра образует идеальную синусоиду. Забыв про докладчика, она прямо на салфетке провела математический расчет, чтобы подтвердить этот геометрический факт.
Ченг напоминает, что тригонометрия изучает не скучные треугольники, а фундаментальные отношения между кругом и квадратом, измеряя параметры вертикального и горизонтального движения:
- Синусоида: отражает исключительно вертикальные колебания объекта (вверх и вниз), игнорируя движение в стороны. Эту форму принимает растянутая спиральная пружинка слинки или старый витой телефонный провод.
- Косинусоида: фиксирует симметричные горизонтальные колебания.
Визуализация мысли через фотографию
Чтобы сделать абстракции осязаемыми, Ченг увлеклась созданием фотографий с длинной выдержкой в темноте. Совершая круговые движения рукой с зажатым светодиодным фонариком во время ходьбы, она смогла запечатлеть световую синусоиду.
С помощью той же фототехники Ченг визуализировала другие математические траектории:
- Парабола: график функции $x^2$, описывающий движение любого тела под воздействием силы тяжести. Ченг зафиксировала её, бросив в темноте светящийся мяч для жонглирования.
- Циклоида: сложная траектория, которую описывает светящаяся точка, закрепленная на спице катящегося велосипедного колеса.
С параболой у Ченг связана еще одна личная и болезненная история со科学ного фестиваля в Генуе. На званом ужине в старинном замке винодел решил пафосно открыть бутылку игристого красного вина ударом сабли. Из соображений безопасности Ченг отошла в самый конец зала.
Однако после удара отсеченное стеклянное горлышко бутылки пролетело сквозь первые три ряда гостей, срикошетило от пола и сильно рассекло Ченг ногу. Первой мыслью исследовательницы при взгляде на глубокую рану было: «О боже, это же идеальная парабола отскока!».
Ченг подчеркивает, что математика не должна быть интуитивно очевидной, её задача — взрывать мозг. Использование строгой логики необходимо именно тогда, когда реальность идет вразрез с нашими ожиданиями. Она сравнивает математику с «интермодальным переводом» (термин её подруги, переводчицы Майи Габанчо) — искусством перевода смыслов из одной модальности в другую, например, превращением абстрактной мысли или формулы в живой визуальный образ.
🎨 Математика как искусство и цена прогресса 37:38
Американскую школьную методику FOIL (алгоритм последовательного перемножения двухчленов: First, Outer, Inner, Last) Евгения Ченг считает ужасным, чисто механическим и бездушным подходом, лишающим учеников понимания сути. Вместо этой аббревиатуры она предлагает метафору «закрывающегося сэндвича»: когда вы соединяете два куска хлеба, на каждом из которых лежит по два ingredients (ингредиента), они попарно встречаются друг с другом, образуя четыре уникальных вкусовых сочетания. Такой подход, по её мнению, вызывает у учащихся живые эмоции.
Ченг убеждена, что на уроках критически важно интересоваться чувствами учеников. Студенты-художники поначалу впадают в ступор от вопроса «что вы чувствуете по отношению к этой теореме?», поскольку традиционная школа приучила их лишь панически бояться совершить ошибку.
Исследовательница подчеркивает:
- В математике нет единственно верного эмоционального ответа; ученик имеет полное право ненавидеть даже самую красивую концепцию.
- Трагедия в том, что большинству людей за всю жизнь показывают только самые скучные, рутинные и утилитарные элементы науки.
По мнению Ченг, в образовании совершается грубая ошибка: упор делается исключительно на «продуктивную» часть (умение самостоятельно решать уравнения и выдавать результат) в ущерб «рецептивной» (способности созерцать, понимать и ценить чужие математические открытия). Она убеждена, что люди имеют полное право наслаждаться математической архитектурой так же, как они наслаждаются картинами в галерее, не умея рисовать самостоятельно, или едой в ресторане, не будучи шеф-поварами.
Обратная сторона научно-технического прогресса
Настоящий прорыв в науке совершается не при помощи холодной логики, а благодаря интуиции и первоначальному «предчувствию животом». Логический аппарат подключается лишь на финальной стадии для верификации и обоснования этих догадок. Однако Ченг призывает критически осмыслить ценность усложнения человеческого мышления и так называемого технологического прогресса.
Исследовательница задается вопросом: принесли ли эти достижения пользу планете? С помощью сложнейших научных открытий человечество создало оружие массового поражения и высокотехнологичные производства, уничтожающие экологию с беспрецедентной скоростью. Теперь ученые пытаются использовать новые технологии, чтобы спастись от экологической катастрофы, которую сами же и спровоцировали предыдущими «инновациями». По мнению Ченг, коренные народы, не использующие евроцентричную сложную науку, демонстрируют куда более разумную способность жить в гармонии с окружающей средой.
🧸 Фикция, которая подсвечивает реальность 44:54
Отвечая на заглавный вопрос лекции «Реальна ли математика?», Ченг демонстрирует залу старого, слегка кривого игрушечного щенка, которого она сшила своими руками в возрасте восьми лет на школьных уроках рукоделия. Этот щенок не является настоящей живой собакой, но он — абсолютно реальная мягкая игрушка, процесс создания которой навсегда остался в её памяти и привил ей практические навыки шитья.
Ченг проводит аналогию между математикой и художественной литературой (фикцией). Литература описывает вымышленные события, но зачастую обучает нас правде жизни гораздо эффективнее, чем сухая документалистика (нон-фикшн), которая скована рамками реальных фактов.
Лектор признается, что поняла историческое угнетение женщин глубже из романов Джейн Остин, чем из любых статистических таблиц, а суть сложных процентов и финансовой долговой кабалы — из трагедии «Мадам Бовари» Гюстава Флобера, а не из учебников экономики. Математика, по мнению Ченг, представляет собой точно такую же полезную «фикцию», которая создана человеком целенаправленно для того, чтобы подсветить и объяснить устройство вселенной.
В завершение лекции Евгения Ченг исполнила песню «Рифма затерянных моряков» (Rhyme of the Lost Mariners), написанную ею на стихи Софии Гассаи — участницы проекта Amplify, который занимается популяризацией творчества невербальных поэтов с аутизмом. Главной метафорой произведения послужил секстант — старинный навигационный прибор, с помощью которого моряки определяли координаты корабля по звездам, используя законы сферической тригонометрии. Это выступление стало финальным призывом Ченг никогда не оценивать потенциал человека заранее и давать каждому возможность раскрыть свои скрытые способности.
