17 апреля 2013 года в редакцию журнала Annals of Mathematics пришло электронное письмо, содержащее 50-страничное доказательство одной из древнейших нерешенных задач математики — гипотезы о простых числах-близнецах. Автором работы был не именитый профессор, а практически неизвестный математик Итан Чжан, который долгое время работал бухгалтером в ресторане Subway. Рецензенты ожидали найти ошибку в расчетах за один вечер, но вскоре осознали, что стали свидетелями одного из крупнейших прорывов в теории чисел.
🔢 Что такое простые числа-близнецы? 0:00
Простые числа-близнецы — это пары простых чисел, разница между которыми составляет ровно два, например, 11 и 13 или 17 и 19 . По мере продвижения по числовой прямой простые числа встречаются всё реже, а пары «близнецов» — ещё реже. Гипотеза о простых числах-близнецах утверждает, что таких пар существует бесконечно много .
Основные факты о распределении простых чисел:
- Средний разрыв между двумя простыми числами растет примерно как натуральный логарифм числа $N$ .
- Вокруг числа 100 средний разрыв составляет около 4,6; вокруг 1000 — 6,9 .
- Хотя логарифмы растут медленно, они стремятся к бесконечности, что делает поиск близко расположенных простых чисел среди огромных величин сложной задачей .
- Самая большая найденная на текущий момент пара «близнецов» состоит из чисел, каждое из которых имеет 388 342 знака .
В 1923 году английские математики Харди и Литтлвуд предложили метод оценки количества таких пар. Согласно их эвристике, вероятность того, что большое число $N$ является простым, составляет примерно $1/\ln(N)$ . Однако, по мнению Терренса Тао, эвристические оценки не являются доказательством, так как теоретически может существовать некий «заговор» чисел, мешающий им становиться простыми рядом друг с другом .
🕸️ Решето Эратосфена и метод Вигго Бруна 6:11
Одним из первых, кто попытался строго доказать гипотезу, был норвежский математик Вигго Брун. Во время Первой мировой войны он работал в изоляции и адаптировал древний инструмент — решето Эратосфена .
Принцип работы классического решета Эратосфена:
- Выписываются все числа до определенного предела (например, до 100).
- Вычеркиваются все кратные 2, затем кратные 3, 5 и 7 .
- Оставшиеся числа являются простыми. Достаточно проводить отсеивание до квадратного корня из максимального числа в списке .
Вигго Брун использовал принцип включения-исключения, чтобы подсчитать количество выживших чисел. Однако он столкнулся с проблемой накопления ошибок округления . В аналитической теории чисел основная задача — доказать, что «главный член» уравнения растет быстрее, чем «член ошибки» .
Брун осознал, что если «ослабить» решето и проводить отсеивание не до $\sqrt{N}$, а до меньшего значения (например, $N^{1/10}$), то ошибки можно контролировать . В итоге он доказал, что существует бесконечно много пар чисел, разница между которыми равна двум, где каждое число имеет не более девяти простых множителей . В 1973 году китайский математик Чэнь Цзинжунь улучшил этот результат, доказав существование бесконечного множества пар, где одно число простое, а второе имеет не более двух простых множителей .
🎯 Поиск ограниченного разрыва: метод GPY 17:24
Математики решили подойти к проблеме с другой стороны: вместо того чтобы искать именно разрыв в 2, попытаться доказать наличие любого фиксированного (ограниченного) разрыва между простыми числами. В среднем разрыв растет с увеличением чисел, но, возможно, он иногда остается малым .
В 2005 году математики Голдстон, Пинц и Йылдырым (метод GPY) шокировали сообщество, доказав возможность существования сколь угодно малых разрывов относительно среднего значения . Они утверждали, что разрыв может составлять 0% от среднего логарифмического разрыва бесконечно часто .
Для этого они использовали метод «трафарета»:
- Трафарет с прорезями накладывается на числовую прямую .
- Считается, сколько простых чисел попало в прорези.
- Если среднее количество простых чисел в трафарете (взвешенное среднее) превышает единицу, это гарантирует, что хотя бы в одной позиции трафарет поймал две простые точки одновременно .
Однако метод GPY уперся в «стену». Математикам не хватало данных о распределении простых чисел в арифметических прогрессиях за пределами так называемого «уровня распределения» $\theta = 1/2$ . На встрече экспертов в 2005 году было сделано заключение, что преодолеть этот барьер невозможно .
🥪 Итан Чжан: математик из Subway 18:47
Итан Чжан не присутствовал на той встрече и, возможно, именно поэтому не знал, что задача считается невыполнимой . После переезда из Китая в США и получения докторской степени он не смог найти академическую работу из-за отсутствия рекомендательных писем. В течение семи лет он перебивался случайными заработками, в том числе работал бухгалтером в Subway .
В 1999 году он устроился лектором в Университет Нью-Гэмпшира и сосредоточился на проблеме ограниченных разрывов. Летом 2012 года, отдыхая у друга в Колорадо, Чжан во время прогулки в саду внезапно нашел решение .
Суть прорыва Чжана:
- Он сосредоточился на особом классе шагов в арифметических прогрессиях, состоящих только из малых простых множителей .
- Это позволило ему реорганизовать члены ошибки так, что большинство из них взаимно уничтожились.
- Он смог преодолеть барьер 1/2 на крошечную долю — 1/584 .
- Используя трафарет с 3,5 миллионами прорезей, Чжан доказал, что существует бесконечно много пар простых чисел с разрывом не более 70 миллионов .
Работа была признана безупречной. Итан Чжан мгновенно стал мировой знаменитостью и получил грант Макартура («грант для гениев») .
🏎️ Проект Polymath и Джеймс Мейнард 33:47
После публикации Чжана математическое сообщество мобилизовалось. Теренс Тао возглавил онлайн-проект Polymath для оптимизации метода Чжана . Исследователи ежедневно обновляли «мировой рекорд», снижая верхнюю границу разрыва. В итоге им удалось дойти до числа 4680 .
Параллельно с этим молодой постдок из Оксфорда Джеймс Мейнард разработал совершенно иной, независимый метод . Его научный руководитель Роджер Хит-Браун советовал ему не тратить время на эту задачу, будучи уверенным в провале .
Открытия Мейнарда:
- Он доказал ограниченный разрыв в 600 .
- Он показал, что барьер в 1/2 был «красным селедкой» (ложной целью) и его метод вообще не зависел от этого показателя .
- Мейнард доказал, что можно найти не только пары, но и тройки, четверки и любое количество простых чисел в ограниченном окне .
В 2014 году Мейнард присоединился к группе Polymath. Совместными усилиями они довели текущий мировой рекорд ограниченного разрыва до 246 . В 2022 году Джеймс Мейнард был удостоен Филдсовской премии — высшей награды в математике .
🔭 Будет ли решена гипотеза? 37:44
Математики уже нашли способы снизить границу разрыва еще сильнее, но пока только при определенных условиях. Если принять верной гипотезу Эллиотта-Хальберштама, разрыв сокращается до 12, а в случае её более сильной версии — до 6 . Однако без допущений число 246 остается непревзойденным.
Джеймс Мейнард считает, что человечество рано или поздно решит гипотезу о простых числах-близнецах . По его мнению, для этого может потребоваться всего одна по-настоящему большая идея . Как резюмирует ведущий Veritasium, история Чжана напоминает о пользе «незнания границ»: если бы он был уверен в невозможности решения, мир бы не увидел этих открытий .
