В рамках проекта Talks at Google физик-теоретик и космолог из Ноттингемского университета Тони Падилья представил свою новую книгу «Fantastic Numbers and Where to Find Them». В ходе беседы с инженером Google Гейбом Гастером он объяснил, почему сумма всех натуральных чисел может быть равна –1/12, как огромные числа предсказывают существование наших двойников и почему математика остается единственным инструментом изучения квантовой гравитации.
🔢 Скандальная математика: почему сумма всех чисел равна –1/12? 1:25
Тони Падилья получил широкую известность благодаря YouTube-каналу Numberphile, где его видео о сумме всех положительных целых чисел набрало более 8 миллионов просмотров. Утверждение о том, что $1 + 2 + 3 + 4 + ... = -1/12$, вызвало бурную дискуссию в интернете и профессиональной среде.
История этого вопроса, по словам физика, полна драматизма:
- Реакция аудитории: Видео вызвало полярные эмоции — от восторга до угроз физической расправы в комментариях.
- Скепсис математиков: Многие специалисты обвинили авторов в отсутствии строгости, называя происходящее «фокусами», которые делают математику бессмысленной.
- Научная ценность: Несмотря на интуитивную абсурдность, результат –1/12 является устойчивым ресурсом, который активно используется в теории струн и теоретической физике.
Падилья объясняет, что за этим парадоксом стоит метод аналитического продолжения. Он утверждает, что каждый шаг в его скандальном доказательстве можно сопоставить с легитимной математической процедурой. По его мнению, критики часто опираются на «предрассудки конечной интуиции»: если мы обрезаем ряд на миллиарде или триллионе, число растет, но в бесконечном ряду работают иные правила регуляризации.
🌌 Гуголплекс и наши квантовые двойники 9:09
Название компании Google восходит к числу гугол (единица со ста нулями), которое придумал девятилетний племянник математика Эдварда Казнера Милтон Сиротта в 1938 году. Позже появилось определение гуголплекса — единицы с гуголом нулей.
Падилья использует эти гигантские числа, чтобы описать масштабы Вселенной:
- Гуголплексианская вселенная: Если представить вселенную размером в гуголплекс метров, вероятность существования точной копии любого человека становится практически неизбежной.
- Точность копии: Под двойником подразумевается не просто похожий человек, а объект в идентичном квантовом состоянии, вплоть до «квантовой ДНК».
- Расстояние до двойника: По расчетам физика, ваш ближайший двойник находится на расстоянии, которое значительно меньше гуголплекса метров.
Гость отмечает философскую проблему идентификации: чтобы подтвердить идентичность двойника, нужно измерить каждое его квантовое состояние, что в процессе измерения неизбежно разрушит объект. По словам Падильи, физики-теоретики склонны считать, что человек полностью описывается своим физическим состоянием, хотя он лично предпочитает оставаться агностиком в вопросе наличия «чего-то большего» за пределами математики.
🔄 Теорема Гёделя против рекуррентности Пуанкаре 20:55
В своей книге Падилья проводит параллель между фундаментальной логикой и физической реальностью, сравнивая теорему Гёделя о неполноте и теорему Пуанкаре о возвращении.
- Теорема Гёделя: В любой достаточно сложной математической системе существуют истинные утверждения, которые невозможно доказать в рамках этой системы.
- Рекуррентность Пуанкаре: В конечной системе с течением времени любое состояние рано или поздно повторится. Например, если перемешивать колоду карт бесконечно долго, они когда-нибудь вернутся в идеальный порядок.
Падилья утверждает, что наша Вселенная может быть конечной системой из-за влияния темной энергии. Время возвращения (рекуррентности) Вселенной в текущее состояние составляет примерно $$10^{10^{122}}$$ лет. Однако физик видит здесь «версию Гёделя для физиков»: это событие математически истинно, но принципиально ненаблюдаемо. Любой измерительный прибор выйдет из строя из-за квантовой нестабильности задолго до того, как произойдет повторение цикла.
🎸 Теория струн: наука или чистая математика? 27:24
Критики часто называют теорию струн нефальсифицируемой. Падилья парирует этот аргумент, указывая на то, что любая теория квантовой гравитации на данный момент сталкивается с той же проблемой — необходимые для тестов энергии недостижимы на современных коллайдерах вроде ЦЕРНа.
Тем не менее, существуют пути проверки:
- Первичные гравитационные волны: По мнению Падильи, измерение тензорных мод в реликтовом излучении может стать «окном» в квантовую гравитацию.
- Фундаментальные столпы: Теория струн строится на квантовой механике и теории относительности. Если любой из этих «столпов» рухнет в эксперименте, теория струн автоматически станет неверной.
Ученый также упоминает современный математический поиск «единственности». Некоторые исследователи пытаются доказать, что теория струн — единственный математически непротиворечивый способ объединить общую теорию относительности и квантовую механику при определенных условиях. Если такая уникальность будет доказана, потребность в прямых экспериментах может снизиться.
📐 «Непостижимая эффективность» и борьба с бесконечностью 32:14
Обсуждая знаменитое эссе Юджина Вигнера, Падилья признает удивительную эффективность математики в описании мира. Он приводит в пример Джеймса Максвелла: тот обнаружил математическую несогласованность в законах Ампера и Фарадея и исправил их, исходя из логики исчисления, что привело к открытию электромагнитных волн.
При этом физик признается в своей нелюбви к понятию бесконечности:
- Физическая неприязнь: По мнению Падильи, в реальном физическом мире нет места бесконечности, и задача физики — научиться обходить её.
- Математические трюки: В квантовой электродинамике бесконечности возникают постоянно, но ученые используют методы регуляризации, чтобы «уклониться» от них.
- Большие числа против бесконечности: Главный посыл книги Падильи заключается в том, что попытка «впихнуть» в физический мир даже конечные, но чудовищно огромные числа (как число Грэма), приводит к коллапсу самой ткани реальности.
В завершение встречи Падилья упомянул о связи простых чисел с энергетическими уровнями тяжелых ядер и о «магическом» числе 17 — именно столько существует групп орнаментов (wallpaper groups), что находит отражение в исламском искусстве и фундаментальных симметриях физики.
