Математика формы и пространства: Джордан Элленберг отвечает на вопросы о геометрии 0:00
Геометрия — это не просто школьный предмет с теоремами и доказательствами, а фундаментальный способ взаимодействия человека с физическим миром. В недавнем выпуске рубрики Tech Support на канале WIRED математик Джордан Элленберг разобрал популярные вопросы из Twitter, объяснив, почему геометрия вездесуща — от формы чипсов Pringle до работы GPS и принципов глубокого обучения.
📐 Природа геометрии и новые открытия 0:13
Геометрия не была «изобретена» кем-то конкретным; она существовала всегда как часть физической реальности. Формализацией этих правил около 2000 лет назад занялся Евклид, хотя, как отмечает Элленберг, он, вероятнее всего, лишь систематизировал накопленные до него знания.
- Новые формы: Математика — это живая наука. Математики продолжают открывать новые геометрические объекты, часто работая с пространствами высокой размерности.
- Четвёртое измерение: Тессеракт (гиперкуб) — это вполне реальный математический объект, а не выдумка научной фантастики. Элленберг поясняет: если куб — это два квадрата, соединённых вместе, то гиперкуб можно представить как два куба, соединённых соответствующими вершинами, что даёт в сумме 16 углов.
🥔 Геометрия вокруг нас: от закусок до искусства 3:43
Геометрия проявляет себя в самых неожиданных предметах повседневного обихода, обладающих специфическими свойствами:
- Чипсы Pringle: Их форма — гиперболический параболоид. Уникальность этой фигуры в наличии «седловой точки» в центре, которая одновременно является пиком при движении в одном направлении и впадиной — при движении в перпендикулярном.
- Искусство Эшера: Знаменитый художник М.К. Эшер использовал в своих работах тесселяции — способы покрытия плоскости повторяющимися фигурами. По словам Элленберга, вдохновением для этого ему послужил дворец Альгамбра в Испании с его сложными орнаментами.
- Золотое сечение: Число примерно 1,618 часто наделяют мистическими свойствами, однако математик считает, что его значимость переоценена. Несмотря на популярность «золотых прямоугольников» в дизайне, Элленберг призывает не искать в них ключи к успеху в инвестициях или похудении.
🕳 Дискуссия о «дырках» и парадоксы 5:02
Один из самых философских вопросов — сколько дырок в трубочке для напитков — разделяет людей на два лагеря. Математически, однако, ответ зависит от того, готовы ли вы принять арифметику топологии.
- Аргумент «одной дырки»: Трубочка — это просто сквозное отверстие, как в бутылке, из которой мы пьем.
- Аргумент «двух дырок»: Если рассматривать отверстия на разных концах, их два.
- Математический подход: Оба взгляда допустимы, если понимать, что топологически эти дырки связаны. Как шутит Элленберг, если рассматривать одну дырку как отрицание другой, то их сумма равна нулю.
📈 Статистика, инвестиции и жизнь 8:54
Математические модели позволяют описывать процессы, которые на первый взгляд кажутся хаотичными:
- Теория случайных блужданий: Разработанная Луи Башелье около 1900 года, она описывает рынок как процесс, напоминающий движение человека без цели. Модель, в которой цены меняются случайно, удивительно точно совпадает с реальностью биржевых графиков.
- Треугольник Паскаля: Элленберг активно использует его для расчёта вероятностей, например, при подбрасывании монет. Числа в треугольнике помогают предсказать частоту выпадения определённого количества «орлов» при многократных сериях бросков.
🛰 Геометрия на службе технологий 15:21
Современные технологии опираются на сложные геометрические принципы:
- Джерримендеринг: Странные формы избирательных округов — это результат использования продвинутых геометрических методов для достижения политических целей, когда законодатели фактически «выбирают» своих избирателей.
- GPS: Система работает на основе пересечения сфер. Зная точное расстояние до нескольких спутников, GPS-устройство вычисляет точку их пересечения, что позволяет определить местоположение на Земле.
- Глубокое обучение: Геометрия в машинном обучении помогает понимать «расстояние» между стратегиями распознавания образов. В этом контексте геометрия — это любая область, где можно рассуждать о близости или удалённости объектов, будь то социальные сети или нейронные архитектуры.
