В современном мире демократия воспринимается как естественный и справедливый способ управления обществом. Однако с математической точки зрения методы, с помощью которых мы выбираем своих лидеров, глубоко несовершенны и иррациональны. Научно-популярный канал Veritasium объясняет, как группа математиков и экономистов доказала фундаментальную невозможность создания идеальной избирательной системы и почему за это открытие была присуждена Нобелевская премия.
🗳️ Ловушка простого большинства: почему классические выборы не работают 0:00
Большинство демократических стран мира используют простейшую форму голосования, известную как мажоритарная система относительного большинства (в англоязычной традиции — first-past-the-post) . Правила её предельно просты: каждый избиратель ставит отметку напротив одного кандидата, а победителем признается тот, кто набрал больше всего голосов . Эта система уходит корнями в глубокую древность: в палате общин Великобритании она применяется с XIV века . Сегодня по такой системе выбирают лидеров в 44 странах мира, большинство из которых — бывшие британские колонии, включая США .
Однако мажоритарная система таит в себе две фундаментальные проблемы, которые ставят под сомнение её справедливость.
Во-первых, она регулярно позволяет побеждать кандидатам, которых не поддерживает абсолютное большинство населения . По данным Veritasium, за последние 100 лет в парламенте Великобритании 21 раз складывалась ситуация, когда одна партия получала абсолютное большинство мест . Но лишь в двух из этих случаев за победившую партию действительно проголосовало большинство избирателей в стране . Таким образом, абсолютную власть в правительстве получает партия, поддержанная явным меньшинством граждан.
Во-вторых, в этой системе возникает разрушительный «эффект спойлера», когда близкие по взглядам кандидаты отбирают голоса друг у друга . Ярким историческим примером этого стали президентские выборы в США в 2000 году, где основная борьба развернулась между Альбертом Гором и Джорджем Бушем-младшим .
Исход выборов решался в штате Флорида, где Буш победил с ничтожным перевесом — менее чем в 600 голосов . В то же время на выборах баллотировался кандидат от «Зелёных» Ральф Нейдер, занимавший гораздо более левые позиции, чем Гор или Буш . Нейдер набрал во Флориде около 100 000 голосов . По мнению автора Veritasium, подавляющее большинство избирателей Нейдера предпочли бы видеть президентом Гора, а не Буша, но мажоритарная система не позволила им выразить это предпочтение . В результате голоса за Нейдера фактически привели к победе Буша, что деморализовало левый электорат .
Из-за эффекта спойлера избиратели вынуждены голосовать стратегически, выбирая не любимого кандидата, а меньшее из зол . Это неизбежно ведёт к концентрации власти у крупнейших политических сил. В политологии эта закономерность известна как закон Дюверже: мажоритарная система выборов в один тур практически всегда приводит к формированию двухпартийной системы .
🔄 Преференциальное голосование: «эффект Кумбая» и скрытая немонотонность 3:57
Чтобы избежать ловушек классического голосования, теоретики предложили систему преференциального голосования (также известную как альтернативное голосование или ranked-choice voting) . Вместо выбора одного кандидата избиратель ранжирует их в бюллетене от самого предпочтительного к наименее желаемому .
Если никто не набирает более 50% первых мест при первичном подсчете, запускается процесс исключения: кандидат с наименьшим числом голосов отсеивается, а его бюллетени перераспределяются в соответствии со вторыми предпочтениями избирателей . Этот процесс повторяется до тех пор, пока один из кандидатов не наберет абсолютное большинство .
Такой подход кардинально меняет поведение политиков. В качестве примера Veritasium приводит выборы мэра Миннеаполиса в 2013 году, где использовалось преференциальное голосование . На пост претендовали сразу 35 кандидатов . Вместо привычных взаимных нападок и агрессивной критики кандидаты вели себя подчеркнуто вежливо и дружелюбно . В конце финальных дебатов они даже хором спели знаменитую примиряющую песню «Kumbaya» . Кандидаты понимали, что для победы им жизненно необходимы вторые и третьи голоса сторонников своих оппонентов, поэтому они стремились понравиться абсолютно всем .
Тем не менее, преференциальное голосование страдает от другого математического дефекта — нарушения принципа монотонности . Это ситуация, при которой ухудшение позиций кандидата среди избирателей может внезапно помочь ему выиграть выборы (или наоборот, улучшение позиций может лишить победы) .
Автор канала Veritasium иллюстрирует этот парадокс на примере гипотетических выборов с тремя кандидатами: Альбертом Эйнштейном, Марией Кюри и Нильсом Бором .
Представим первый сценарий голосования:
- Альберт Эйнштейн получает 25% первых мест;
- Мария Кюри (центристский кандидат) получает 30% голосов;
- Нильс Бор получает 45% голосов .
Поскольку никто не набрал 50%, Эйнштейн как самый непопулярный кандидат выбывает . Избиратели, голосовавшие за Эйнштейна, в качестве второго предпочтения указали Кюри. В результате Кюри получает их голоса и побеждает Бора во втором туре с общим счетом 55% против 45% .
Теперь представим второй сценарий: Бор проводит крайне неудачную кампанию, из-за чего часть его сторонников решает отдать первые места Эйнштейну . Казалось бы, позиции Бора ослабли. Но посмотрим на новые результаты:
- Эйнштейн теперь набирает больше голосов и обходит Кюри;
- Кюри оказывается на последнем месте с минимальным результатом и выбывает из гонки ;
- Голоса умеренных сторонников Кюри распределяются поровну между Эйнштейном и Бором .
В итоге Бор побеждает во втором туре . Получилась парадоксальная ситуация: ухудшение результатов Бора в первом раунде напрямую привело к его итоговой победе на выборах .
🏛️ Исторический поиск справедливости: Борда против Кондорсе 8:02
Первые строгие попытки применить математику и логику к анализу голосования начались в эпоху Просвещения и Французской революции, что сделало ученых того времени основателями теории общественного выбора .
В 1784 году французский физик и математик Жан-Шарль де Борда предложил систему, позже названную «методом Борда» . В ней избиратели ранжируют кандидатов, и за каждое место начисляется определенное количество баллов (например, 4 балла за первое место, 3 за второе и так далее) . Побеждает тот, кто суммарно наберет больше всего очков.
Однако у метода Борда обнаружился критический изъян: итоговый результат сильно зависит от количества кандидатов в списке . Появление в бюллетене заведомо непроходного «технического» кандидата может кардинально изменить распределение очков между лидерами и поменять победителя.
Современник Борда, философ и математик маркиз де Кондорсе, жестко критиковал этот метод за зависимость от иррациональных факторов . В 1785 году Кондорсе опубликовал эссе, в котором предложил альтернативу: справедливым победителем выборов должен признаваться тот кандидат, который побеждает любого другого соперника в гипотетическом поединке «один на один» (тет-а-тет) . Этот принцип сегодня называют «победителем по Кондорсе».
Интересный исторический факт: за 450 лет до Кондорсе аналогичную систему описал каталонский монах и философ Раймонд Луллий в своем трактате Ars Electionis («Искусство выборов») . К сожалению, его труды были утеряны и вновь открыты учеными только в 2001 году, поэтому метод носит имя Кондорсе, а не Луллия .
Но и метод Кондорсе столкнулся с непреодолимым математическим тупиком, получившим название «парадокс Кондорсе» . Представим компанию из трех друзей, выбирающих меню на ужин между бургерами, пиццей и суши . Предпочтения друзей распределились следующим образом:
- Первый друг: Бургеры > Пицца > Суши ;
- Второй друг: Пицца > Суши > Бургеры ;
- Третий друг: Суши > Бургеры > Пицца .
Если провести попарное голосование, то выяснится, что большинство (два человека из трех) предпочитают бургеры пицце . В то же время большинство предпочитает пиццу суши, и точно так же большинство отдает предпочтение суши перед бургерами . Общественный выбор замыкается в бесконечную логическую петлю (Бургеры > Пицца > Суши > Бургеры...) . В этой ситуации невозможно определить волю большинства, поскольку любое решение будет противоречить выбору двух третей группы.
Сам Кондорсе не успел разрешить этот парадокс. Будучи активным деятелем Французской революции и автором проекта конституции 1793 года, он подверг критике конституцию якобинцев, после чего был объявлен предателем, арестован и в 1794 году скончался в тюремной камере . В последующие полтора века многие математики, включая автора «Алисы в Стране чудес» Льюиса Кэрролла (Чарльза Доджсона), безуспешно пытались модифицировать методы Кондорсе и Борда, чтобы обойти возникающие парадоксы .
⚡ Теорема невозможности Эрроу: математический приговор демократии 12:28
Окончательную точку в многовековых спорах поставил американский экономист Кеннет Эрроу. В своей докторской диссертации 1951 года он сформулировал пять очевидных, разумных и минимально необходимых условий, которыми должна обладать любая справедливая избирательная система :
- Единогласие (Unanimity): если абсолютно каждый избиратель в группе предпочитает кандидата А кандидату Б, то и в итоговом общественном выборе кандидат А должен стоять выше кандидата Б .
- Отсутствие диктатора (Non-dictatorship): решение группы не должно полностью подчиняться мнению одного-единственного человека. Если один голос всегда определяет исход выборов вопреки воле всех остальных — это диктатура, а не демократия .
- Универсальность (Unrestricted domain): избиратели имеют право ранжировать кандидатов любым мыслимым образом, и система обязана выдавать четкий и однозначный результат при любом раскладе голосов .
- Транзитивность (Transitivity): если общество в целом предпочитает кандидата А кандидату Б, а кандидата Б — кандидату В, то общество должно предпочитать кандидата А кандидату В .
- Независимость от посторонних альтернатив (Independence of Irrelevant Alternatives): если общество предпочитает кандидата А кандидату Б, то появление третьего кандидата В не должно менять взаимное расположение А и Б в итоговом рейтинге .
Математический триумф и одновременно трагедия Эрроу заключались в том, что он строго доказал: создать ранговую систему выборов с тремя и более кандидатами, которая одновременно удовлетворяла бы всем пяти условиям, математически невозможно . Одно из условий неизбежно придется нарушить. Данное доказательство вошло в историю как теорема невозможности Эрроу и принесло автору Нобелевскую премию по экономике в 1972 году .
🧮 Доказательство: как рождается неизбежный диктатор 14:14
Чтобы наглядно понять суть теоремы, Veritasium приводит лаконичную версию доказательства Эрроу, сформулированную математиком Джоном Геанакоплосом .
Представим общество из $N$ избирателей, которые голосуют за трех кандидатов: А, Б и В .
Сначала докажем лемму: если каждый отдельный избиратель ставит кандидата Б строго на первое либо строго на последнее место в своем списке, то и все общество в целом обязано поставить Б либо на первое, либо на последнее место .
Докажем это от противного. Предположим, что общество поместило Б посередине (то есть А выше Б, а Б выше В) . Если теперь каждый избиратель переместит кандидата В выше А в своем личном бюллетене, то по правилу единогласия в общественном рейтинге В также должен подняться выше А .
Однако обратите внимание: мы перемещали только А и В, не меняя положения Б. Для каждого избирателя Б по-прежнему остался на экстремальной позиции (либо в самом верху, либо в самом низу). Значит, относительное положение А и Б, а также В и Б для каждого человека не изменилось. По правилу независимости от посторонних альтернатив отношение общества к Б должно остаться прежним: А выше Б, а Б выше В .
Из транзитивности следует: если А выше Б, а Б выше В, то А должно быть выше В. Но это прямо противоречит нашему выводу о том, что В должно быть выше А. Мы получили математическое противоречие. Следовательно, лемма доказана: общество обязано поместить кандидата Б либо в самый верх, либо в самый низ .
Теперь проведем мысленный эксперимент:
- Профиль 0: все избиратели ставят кандидата Б в самый низ своих списков. Соответственно, в общественном рейтинге Б также оказывается на последнем месте .
- Шаг за шагом: мы просим избирателей по очереди переносить Б с последнего места на первое. Первый избиратель переносит Б наверх. Затем второй, третий и так далее .
- В какой-то момент должен наступить перелом. Должен найтись конкретный избиратель (назовем его решающим избирателем), чей голос изменит коллективное решение, и кандидат Б внезапно переместится с последнего места на первое в общественном рейтинге .
Если детально проанализировать ситуацию в момент этого перехода, выяснится поразительный факт: этот решающий избиратель полностью диктует волю общества . Как бы ни голосовали остальные граждане, итоговое коллективное решение относительно кандидатов А и В будет в точности совпадать с личным выбором этого конкретного человека . Любая попытка математически агрегировать голоса при соблюдении базовых правил справедливости неизбежно приводит к появлению скрытого «диктатора» .
🌟 Спасение системы: теорема Блэка и рейтинговое голосование 18:46
Означает ли теорема Эрроу, что демократия обречена на провал? Как утверждает ведущий канала Veritasium, в реальности все не так мрачно .
Математик Данкан Блэк сформулировал гораздо более оптимистичную теорему о медианном избирателе . Если политические предпочтения общества и кандидатов можно наглядно расположить вдоль одной оси координат (например, от крайне левых/либеральных до крайне правых/консервативных), то парадоксы Эрроу и Кондорсе исчезают . В этом одномерном политическом пространстве выбор медианного (находящегося ровно посередине) избирателя всегда отражает реальное мнение большинства, обеспечивая стабильность системы .
Кроме того, существует важнейшая лазейка: теорема Эрроу применима исключительно к ранговым (ординальным) избирательным системам, где кандидатов нужно расставлять по местам . Но существуют и рейтинговые (кардинальные) системы голосования .
Простейшим примером такой системы является одобрительное голосование (approval voting) . Вместо ранжирования избиратель просто отмечает галочками всех кандидатов, которых он считает приемлемыми на данном посту . Можно проголосовать как за одного человека, так и за двух, трех или вообще за всех сразу. Существуют и более детальные варианты, где каждому кандидату выставляется оценка по шкале (например, от -10 до +10) .
Рейтинговые системы обладают целым рядом доказанных преимуществ:
- Они полностью исключают «эффект спойлера» ;
- Избирателям больше не нужно голосовать стратегически — они могут открыто одобрять малые партии без страха потерять свой голос ;
- Кандидатам становится невыгодно вести грязную кампанию против оппонентов, ведь им важно получить одобрение и от их электората ;
- Результаты выборов легко и прозрачно подсчитываются — побеждает тот, кто набрал наибольший совокупный процент одобрения .
Одобрительное голосование имеет глубокие исторические корни. По данным Veritasium, именно так кардиналы в Ватикане выбирали Папу Римского в период с 1294 по 1621 год . Сегодня этот метод применяется при выборах Генерального секретаря ООН . Примечательно, что сам Кеннет Эрроу к концу своей жизни согласился с тем, что рейтинговое голосование, вероятно, является наилучшим практическим методом проведения выборов .
По мнению ведущего Veritasium, использование архаичной мажоритарной системы в XXI веке выглядит нелепо, учитывая все её научно доказанные изъяны . И хотя математически безупречных выборов не существует, человечество способно сделать свои избирательные институты гораздо более справедливыми и разумными.
