Грант Сандерсон за 10 лет развил YouTube-канал 3Blue1Brown до 7 миллионов подписчиков, используя визуальный подход к сложным вычислениям . В эфире StarTalk он обсудил с Нилом Деграссом Тайсоном и Чаком Найсом границы современной математики и проблемы, за решение которых полагается награда в миллион долларов.
💰 Семь проблем тысячелетия и простые числа 3:05
В 2000 году Математический институт Клэя (Clay Mathematics Institute) представил список из семи нерешённых задач, названных «Проблемами тысячелетия» . За решение каждой из них назначен приз в 1 миллион долларов. По словам Гранта Сандерсона, эти задачи настолько сложны, что зачастую трудно даже описать суть вопроса неподготовленному человеку .
Существуют и менее «официальные», но популярные математические загадки:
- Гипотеза о числах-близнецах: Грант Сандерсон узнал о ней от отца в 11 лет . Суть в том, существуют ли бесконечно много пар простых чисел, разница между которыми равна двум (например, 11 и 13 или 29 и 31). Эту задачу сформулировал ещё Евклид более 2000 лет назад, но она до сих пор не решена .
- Уравнения Навье — Стокса: они описывают поток жидкости . Математики не знают, могут ли эти уравнения приводить к бесконечной концентрации энергии в одной точке . Теоретическое понимание этих процессов остаётся крайне ограниченным, несмотря на их применение в инженерии.
⚔️ Дуэль и невозможность решения уравнений пятой степени 8:02
Математики могут доказать, что некоторые задачи в принципе не имеют решения с помощью определённых инструментов. Школьная формула для решения квадратных уравнений (второй степени) известна давно . Существуют формулы и для уравнений третьей и четвёртой степеней, но они крайне громоздки .
Эварист Галуа в начале XIX века совершил прорыв, доказав невозможность существования общей формулы для уравнений пятой степени и выше .
- История Галуа: он погиб на дуэли в возрасте 20 лет . Согласно классической истории, он записал свои основные идеи за ночь до поединка, предчувствуя смерть .
- Значение: работа Эвариста Галуа заложила основу абстрактной алгебры . Его теории также доказали невозможность трисекции угла (деления угла на три равные части) с помощью циркуля и линейки .
⭕️ Деление на ноль и «плохие» названия в математике 14:04
Деление на ноль в обычной арифметике считается неопределённым, так как вопрос «сколько раз ноль содержится в единице» не имеет смысла в контексте разделения объектов . Однако в проективной геометрии математики вводят понятие «единой точки на бесконечности», что позволяет работать с такими выражениями конструктивно .
Грант Сандерсон критикует терминологию, которая отпугивает людей от предмета :
- Мнимые числа (i): название «мнимые» звучит так, будто их не существует . Карл Фридрих Гаусс предлагал называть их «латеральными» (боковыми). Эти числа эффективно описывают циклические процессы, волны и вращения .
- Комплексные числа: само слово «комплексный» в английском языке синонимично слову «сложный», что создает ложное впечатление о трудности темы .
- Математические задачи: Грант Сандерсон и Чак Найс шутят, что само слово «проблема» (problem) вызывает негативные ассоциации у учеников .
📐 Иррациональность и плитка Пенроуза 33:55
Число Пи и квадратный корень из двух являются иррациональными числами. Это означает, что их невозможно представить в виде точного отношения двух целых чисел .
- Доказательство от противного: чтобы доказать иррациональность $\sqrt{2}$, математики сначала предполагают, что это обычная дробь . В ходе логических вычислений они приходят к противоречию, когда числитель и знаменатель должны бесконечно оставаться чётными, что невозможно для сокращённой дроби .
- Замощение (тесселяция): плоскость можно полностью закрыть без пробелов правильными шестиугольниками .
- Плитка «Шляпа»: недавно любитель математики обнаружил форму, которая может замостить плоскость только непериодическим образом — узор никогда не повторяется при сдвиге . Ранее Роджер Пенроуз нашёл подобное решение, используя две разные плитки в форме ромбов .
🌌 Высшие измерения и проблема трёх тел 44:06
Для математиков «измерение» часто является просто заполнителем для списка чисел . Например, при работе с языковыми моделями (LLM) слова превращаются в векторы в пространстве с десятками тысяч измерений . Это не означает существование физических 12 000 измерений, а служит удобным способом визуализации данных.
В контексте астрофизики Нил Деграсс Тайсон затронул проблему трёх тел .
- Суть проблемы: невозможно вывести простую формулу для предсказания движения трёх небесных тел, влияющих друг на друга гравитацией.
- Решение через хаос: по мнению Гранта Сандерсона, проблема «решена» в том смысле, что математики доказали её хаотичность . Теория хаоса утверждает: любая минимальная ошибка в измерениях (которая неизбежна в реальности) приводит к полной непредсказуемости результата через короткое время .
