Автоматизация добирается до самой абстрактной из наук: искусственный интеллект начинает не просто проверять вычисления, но и выдвигать полноценные научные гипотезы. В своей лекции для The Royal Institution математик Ян-Хуэй Хэ рассказывает, как современные нейросети и большие языковые модели трансформируют математические исследования. Спикер описывает три ключевых направления этой цифровой революции — восходящий и нисходящий подходы, а также метаматематику, которые изменят облик науки в ближайшие годы.
🧠 Искусственный интеллект глазами математика 0:00
Сегодня разговоры об искусственном интеллекте стали неотъемлемой частью повседневного общения ученых. По словам Яна-Хуэя Хэ, в обществе наблюдаются две крайности: одни ожидают скорого прихода технологической сингулярности и потери рабочих мест, другие считают ИИ временным хайпом, за которым скрывается лишь увеличение вычислительных мощностей. Сам спикер стоит у истоков внедрения методов машинного обучения в чистую математику и теоретическую физику, начав эту работу около восьми лет назад. Сегодня это направление представляет собой развивающееся сообщество, насчитывающее сотни исследователей.
Как утверждает директор Лондонского института математических наук Томас Финк в своей статье для журнала Nature, искусственный интеллект готов изменить саму основу того, как создается математика. Математические данные идеально подходят для обучения нейросетей. С математической точки зрения, работа ИИ описывается мантрой «коннективизм ведет к эмерджентности». Вместо использования единичных сложных функций, ученые объединяют их в огромные сети.
По определению Яна-Хуэя Хэ, любая система искусственного интеллекта на глубинном уровне представляет собой ту или иную форму нейросети, имитирующую структуру человеческого мозга за счет связывания активационных функций. Способность таких структур с любой точностью аппроксимировать любые входные и выходные данные доказана математически и описывается теоремами об универсальной аппроксимации.
⏳ Краткая история машинного мышления 8:09
Попытки смоделировать человеческий разум и автоматизировать вычисления имеют глубокие исторические корни. Спикер выделяет несколько ключевых вех на этом пути:
- 1617 год: Рене Декарт выдвигает концепцию «животного-машины» (bete machine) и вводит в обиход термин «автоматон», закладывая философский фундамент идеи искусственного подражания человеку.
- 1842 год: Ада Лавлейс, работая с Чарльзом Бэббиджем над его аналитической машиной, становится первым в истории программистом. Она высказывает пророческую мысль о том, что в будущем подобные машины смогут сочинять сложные научные музыкаческие произведения любой степени запутанности.
- 1949 год: Алан Тьюринг предлагает свой знаменитый тест (тест Тьюринга) для проверки способности машины мыслить неотличимо от человека.
- 1955–1956 годы: Джон Маккарти и его коллеги вводят в употребление сам термин «искусственный интеллект» при подготовке заявки на грант для Дартмутской конференции.
- Конец 1950-х годов: Изобретение перцептрона — ранней версии искусственной нейросети, которая в экспериментах физически реализовывалась с помощью стены фоторезисторов на основе сульфида кадмия.
- 1980-е годы: Джеффри Хинтон и его коллеги разрабатывают теоретический базис современных нейросетей, за что впоследствии Хинтон удостаивается Нобелевской премии.
- 1997 год: Суперкомпьютер Deep Blue от IBM побеждает чемпиона мира по шахматам Гарри Каспарова.
- 2012 год: Компания DeepMind совершает прорыв, создав систему AlphaGo, которая обыгрывает человека в древнюю игру го, считавшуюся из-за своей сложности недоступной для компьютерного анализа.
🧱 Восходящий подход: от аксиом Евклида до проекта Lean 20:05
Ян-Хуэй Хэ предлагает разделять процесс создания математического знания на три составляющие, первая из которых — восходящий (bottom-up) подход, или классическое аксиоматическое построение. Его основоположником считается Евклид, который около 300 года до н.э. в своих «Началах» показал, как из базовых аксиом можно строго выводить тысячи сложных утверждений.
В 1910 году Бертран Рассел и Альфред Норт Уайтхед предприняли монументальную попытку полностью формализовать математику, опубликував труд Principia Mathematica. Эта книга оказалась крайне тяжелой для человеческого восприятия: например, строгое доказательство того, что $1 + 1 = 2$, появляется в ней только на 362-й странице первого тома. По мнению Яна-Хуэя Хэ, эта работа была создана не для людей, а для машин.
Однако уже через 20 лет Курт Гёдель своей теоремой о неполноте доказал принципиальное ограничение этого подхода: в любой достаточно богатой логической системе существуют истинные утверждения, которые невозможно ни доказать, ни опровергнуть. Впоследствии Алонзо Чёрч и Алан Тьюринг расширили этот вывод до понятия вычислительной неразрешимости.
Тем не менее, автоматизация аксиоматического подхода продолжилась. В 1956 году была создана программа «Логик-теоретик» (Logic Theorist), сумевшая самостоятельно доказать несколько десятков теорем из Principia Mathematica. В наши дни эта идея воплотилась в проекте Mathlib на базе языка формальной верификации Lean. В рамках инициативы Xena Project под руководством Кевина Баззарда математики за 10 лет вручную перевели в цифровой машиночитаемый код весь бакалаврский курс математики Имперского колледжа Лондона, подтвердив в 2023 году его полную логическую непротиворечивость.
Один из величайших математиков современности, лауреат Филдсовской премии Терентий Тао, активно поддерживает развитие машинной верификации доказательств. Кевин Баззард аргументирует критическую важность таких систем тем, что современная математика стала слишком сложной для традиционного рецензирования.
Он приводит пример, когда в авторитетнейшем журнале Annals of Mathematics были опубликованы две статьи, выводы которых прямо противоречили друг другу, что доказывает ошибочность как минимум одной из них, ускользнувшую от многолетней человеческой проверки. В ближайшем будущем ученые планируют скормить миллионы строк кода Mathlib искусственному интеллекту, чтобы он учился выявлять лингвистические паттерны строгой логики и генерировать новые идеи.
🔭 Нисходящий подход: экспериментальная математика и тест Бёрча 33:03
Противоположностью формализма Давида Гильберта в начале XX века выступал интуиционизм Лёйтзена Брауэра, рассматривавший математику как продукт человеческого разума. Сегодня этот взгляд отражен в экспериментальной математике, где ученые ищут паттерны в массивах данных с помощью черных досок или специализированного софта. Советский математик Владимир Арнольд шутил, что математика — это часть физики, в которой эксперименты обходятся дешево.
Ян-Хуэй Хэ приводит классические примеры успешных математических экспериментов прошлого:
- Эксперимент Гаусса: В 16 лет Карл Фридрих Гаусс от скуки начал вручную подсчитывать количество простых чисел в определенных диапазонах. Изучив таблицы, он выдвинул гипотезу, что плотность их распределения стремится к функции $X / \ln X$, для чего ему пришлось попутно изобрести метод наименьших квадратов и основы регрессионного анализа. Само доказательство этой гипотезы (теоремы о распределении простых чисел) появилось лишь 50 лет спустя благодаря развитию комплексного анализа Коши и Риманом.
- Гипотеза Римана (1859 год): Бернхард Риман рассчитал первые два десятка нетривиальных нулей дзета-функции и в сноске к работе предположил, что все они лежат на одной прямой. Это утверждение остается важнейшей нерешенной проблемой математики и входит в список Задач тысячелетия.
- Гипотеза Бёрча и Свиннертон-Дайера (1960-е годы): Брайан Бёрч и Питер Свиннертон-Дайер использовали один из первых ламповых компьютеров EDSAC в Кембридже для расчета рангов эллиптических кривых, заметив закономерность, ставшую еще одной Задачей тысячелетия.
Чтобы систематизировать применение ИИ в поиске новых гипотез, Ян-Хуэй Хэ вместе с Михаилом Бурцевым предложили в журнале Nature так называемый «Бёрч-тест» (названный в честь выдающегося математика Брайана Бёрча). Чтобы пройти его, система ИИ должна генерировать математические открытия, соответствующие трем критериям:
- Automatic (Автоматизм): Процесс должен идти автоматически, без подсказок человека о том, какие именно данные важны.
- Interpretable (Интерпретируемость): Результат должен быть понятен математику в виде конкретных уравнений, а не оставаться скрытым внутри «черного ящика» нейросети.
- Non-trivial (Нетривиальность): Гипотеза должна быть достаточно сложной и глубокой, чтобы заинтересовать человеческое сообщество.
На текущий момент ни один ИИ полностью не прошел Бёрч-тест, однако ученые подошли к этому вплотную. Самым ярким примером стало совместное исследование Яна-Хуэя Хэ с коллегами (Оливером, Поздняковым и Ли). Они загрузили данные о 3,5 миллионах эллиптических кривых из базы LMFDB в нейросети и обнаружили поразительный паттерн распределения, напоминающий стаи птиц — это явление назвали «мурмурацией эллиптических кривых».
Когда авторы отправили формулу ведущим теоретиками чисел Питеру Сарнаку и Эндрю Сазерленду, те признали, что никогда не видели ничего подобного. Журнал Quanta Magazine назвал это открытие одним из главных научных прорывов 2024 года.
🌐 Метаматематика: большие языковые модели на передовой науки 53:29
Третье революционное направление — метаматематика, связанная с использованием больших языковых моделей (LLM), таких как ChatGPT или аналогичные системы. В 2022 году ChatGPT фактически прошел тест Тьюринга, стерев грань между машинным и человеческим текстовым ответом. Хотя LLM работают на основе статистического предсказания следующего слова, они демонстрируют поразительные успехи в решении строгих задач.
Первым полем боя стали олимпиадные задачи для школьников. Международная математическая олимпиада (IMO) считается одним из самых сложных интеллектуальных испытаний в мире. В 2024 году ИИ-системы AlphaGeometry и AlphaProof от DeepMind сумели завоевать серебряную медаль на задачах IMO. А в 2025 году модель Gemini от Google превзошла этот результат, завоевав золото и безошибочно решив сложнейшие геометрические и алгебраические задачи, которые оценивали человеческие эксперты.
Однако главная интрига заключалась в том, способны ли языковые модели справляться с реальной, академической наукой. Для этого проект FrontierMath от компании Epoch AI разработал систему бенчмарков исследовательского уровня. Ян-Хуэй Хэ принимал участие в финальной оценке сложнейшего четвертого уровня (Tier 4) этого проекта.
Организаторы собрали 30 ведущих математиков мира в Беркли, подписав с ними соглашение о неразглашении (NDA), и попросили их составить 40 уникальных задач, которые обычно дают продвинутым аспирантам или постдокам. Чтобы ИИ не мог угадать ответ, задачи формулировались так, чтобы решением было точное многозначное число.
Результаты тестирования моделей, завершившегося весной 2025 года, показали, что искусственный интеллект успешно справляется с задачами четвертого уровня в 10% случаев. По мнению спикера, это феноменальный результат, учитывая, что формулировки некоторых задач Tier 4 не поймет даже профессиональный математик, если он не специализируется в конкретной узкой области аналитической теории чисел. В следующем году Epoch AI планирует запустить Tier 5, где нейросетям предложат решить открытые проблемы, с которыми человечество пока вообще не справилось.
🔮 Будущее математических открытий 1:02:02
Подводя итог, Ян-Хуэй Хэ отмечает, что ИИ пока не решил в одиночку ни одной крупной математической проблемы уровня Задач тысячелетия, но он уже кардинально меняет повседневную рутину ученых. Сам спикер признается, что теперь поручает ИИ писать большую часть кода для своих математических экспериментов и искать нужные научные цитаты. Недавние работы в области комбинаторики доказывают эффективность такого тандема, когда взаимодействие человека с языковой моделью позволило продвинуться в доказательстве новой теоремы.
При этом спикер указывает на заметный географический дисбаланс в финансировании этого направления. Традиционные грантовые агентства, например в Великобритании, крайне консервативны и неохотно выделяют средства на стык ИИ и чистой математики. В то же время в мире активно открываются специализированные центры:
- BICMR в Пекине (Китай);
- IAIFI в Бостоне (совместно MIT и Северо-Восточный университет, США);
- Институт Макса Планка в Германии.
Ян-Хуэй Хэ считает, что будущее науки лежит в синергии человека и алгоритма, работающих в тандеме над разгадкой самых сложных тайн Вселенной.
