Тобиас Колдинг

Если я чего-то и хочу добиться в этом курсе, так это научить вас писать настоящие математические доказательства.

Сходимость — это всегда что-то о хвосте, о том, что происходит в конце.

Если у вас есть последовательность и две разные подпоследовательности, которые сходятся к разным пределам, то исходная последовательность не сходится.

Если вы хотите думать о непрерывности как о чем-то, что позволяет менять порядок взятия пределов, то это именно то, что нужно.

Если вы достаточно далеко продвинулись в последовательности, то все элементы в ней скучены на расстоянии эпсилон.

В общем случае вы, возможно, не сможете записать предел, но вы хотите доказать, что предел существует.

Если последовательность сходится, то это последовательность Коши.

Первое, что я всегда проверяю для ряда, — стремится ли его общий член к нулю.

Обычно непрерывность — это приятное свойство. Часто это минимальное требование, но его часто недостаточно.

Теорема о сжимающих отображениях на самом деле чрезвычайно мощна.

Для многих вещей почти невозможно найти саму точную неподвижную точку. Но вы можете начать с хорошего приближения и итерировать процесс.

Риман предложил три темы... Гаусс сказал: «К черту правила, я выберу номер три».

Если у вас есть два решения этого ОДУ, то они должны совпадать.

Функция становится большой слишком быстро... у нее будет касательная, которая уходит в вертикаль.

Степенной ряд — это полином бесконечной степени, сумма бесконечного числа многочленов.

Если вы видите ряд, первое, что нужно сделать — проверить, стремится ли его элемент к нулю.

Каждый раз, когда вы применяете теорему Ролля, точка c смещается влево, по направлению к точке a.

Бесконечное пересечение открытых множеств может не быть открытым.

Компактность полезна, потому что существует метрическая версия теоремы Больцано-Вейерштрасса.

Это не так, что функция сходится здесь, расходится там, а потом снова сходится.

То, что в математике вещи строятся одна на другой — надеюсь, каждый шаг довольно тривиален, но вы строите шаг за шагом, и в итоге получаете что-то высоконетривиальное.

Для сходимости неважно, откуда вы начинаете, но для пределов это ключевой момент.

Теорема Коши о среднем значении кажется более сложной версией стандартной теоремы, и это действительно так.

Единственная вещь, которую мы знаем наверняка с самого начала — это площадь прямоугольника.

Если расстояние равно 0, то две точки в метрическом пространстве являются одинаковыми.

Поточечная сходимость не является достаточной для того, чтобы гарантировать непрерывность предела непрерывных функций.

Если последовательность непрерывных функций сходится равномерно, то предельная функция также непрерывна.

Если у вас есть более сильная версия сходимости, вы часто получаете нечто гораздо лучшее.