В рамках учебного курса MIT OpenCourseWare представлена лекция, посвященная математическим основам облигаций и процентных ставок. Лектор разбирает путь от базового начисления процентов до сложных финансовых инструментов, объясняя, как математические константы вроде числа e связаны с современным банковским делом и почему форма кривой доходности может предсказывать экономические кризисы.
📈 Математика процентов: от вклада до числа Эйлера 0:16
Основой финансовых расчетов является понятие процентной ставки ($r$). Если инвестировать 1 доллар сегодня, через год его стоимость составит $1 + r$ . При реинвестировании средств (сложный процент) через $n$ лет сумма вырастет до $(1 + r)^n$.
Однако в реальности начисление может происходить чаще, чем раз в год. Лектор демонстрирует, как меняется формула при увеличении частоты периодов начисления:
- При начислении раз в полгода сумма через год составит $(1 + r/2)^2$ .
- При делении года на $m$ периодов формула принимает вид $(1 + r/m)^m$ .
- Если устремить $m$ к бесконечности (непрерывное начисление процентов), мы приходим к пределу, который равен $e^r$ .
Интересный исторический факт: именно так в 1683 году Якоб Бернулли открыл и определил число $e$ . Его работа, посвященная изучению сложного процента, фактически стала первой в истории статьей по математическим финансам .
💸 Принцип отсутствия арбитража и дисконтирование 4:57
Центральный вопрос оценки будущих денежных потоков: сколько нужно заплатить сегодня, чтобы получить 1 доллар через год? . Для ответа на него используется принцип отсутствия арбитража.
Предположим, сегодня мы платим за это право $X$ долларов. Если мы займем эту сумму $X$ под процент $r$, то в конце года наш долг составит $X \times (1 + r)$. В этот же момент мы получим обещанный 1 доллар. Разница между полученным долларом и выплаченным долгом должна быть равна нулю .
Лектор объясняет логику:
- Если разница больше нуля, любой мог бы бесконечно занимать деньги, покупать такие контракты и получать безрисковую прибыль .
- Если меньше нуля, сделка была бы заведомо убыточной для покупателя .
- Следовательно, справедливая цена $X$ сегодня — это $1 / (1 + r)$.
Этот процесс называется дисконтированием . Коэффициент $1 / (1 + r)$ является фактором дисконтирования. В случае непрерывного начисления процентов стоимость суммы $N$, которую вы получите через $n$ лет, сегодня рассчитывается как $N \times e^{-rn}$ .
📜 Типы облигаций и их оценка 9:00
Простейшим финансовым инструментом является бескупонная облигация (zero-coupon bond) — право получить фиксированную сумму (номинал, обычно 100) в определенный момент в будущем .
Более распространены купонные облигации. Большинство инвесторов предпочитает получать периодические выплаты за то, что они одолжили свои деньги государству или компании . В США такие выплаты обычно производятся раз в полгода, в Европе — раз в квартал .
Цена купонной облигации складывается из суммы всех будущих денежных потоков (купонов и номинала в конце срока), приведенных к сегодняшнему дню с помощью дисконтирования . С точки зрения математики, это расчет суммы геометрической прогрессии .
📊 Доходность и её обратная связь с ценой 11:15
Сравнивать облигации только по их рыночной цене неудобно, так как они имеют разные сроки погашения и разные купонные ставки . Поэтому в финансовом мире используют универсальный показатель — доходность (yield).
Доходность — это такая константная процентная ставка, которая при дисконтировании всех будущих выплат дает текущую рыночную цену облигации . Между ценой и доходностью существует жесткая математическая связь:
- Для бескупонных облигаций расчет доходности прост и выводится напрямую из формулы дисконтирования .
- Для купонных облигаций вычисление доходности сложнее и требует численных методов .
- Главное правило: цена и доходность находятся в обратной зависимости. Чем выше доходность, тем ниже цена, и наоборот .
📉 Кривая доходности как предсказатель рецессий 14:29
В идеальном мире доходность всех облигаций была бы одинаковой, но в реальности она меняется в зависимости от срока погашения. График этой зависимости называется кривой доходности (yield curve) .
Типы кривых:
- Нормальная (восходящая): инвесторы хотят получать большую доходность за долгосрочные вложения. Примером служит кривая 1992 года, когда ставки начинались с 3% для коротких бумаг и уходили к 7% для длинных .
- Инвертированная (перевернутая): доходность краткосрочных бумаг выше, чем долгосрочных.
По мнению лектора, инвертированная кривая является признанным предсказателем экономических проблем . Он приводит исторические примеры: кривая была инвертирована в 2007 году перед мировым финансовым кризисом и в 2019 году перед пандемией . На момент проведения лекции (сентябрь) кривая также демонстрирует инверсию . Лектор отмечает, что сейчас задача ФРС — обеспечить «мягкую посадку» экономики, чтобы избежать рецессии, несмотря на тревожные сигналы рынка .
Ожидается, что на ближайшем заседании ФРС в сентябре ставки будут снижены, что немедленно опустит «короткий конец» кривой, однако предсказать поведение долгосрочных ставок крайне сложно .
🛡️ Чувствительность и риски: дюрация и выпуклость 19:07
Поскольку цены облигаций чувствительны к изменению доходности, инвесторам крайне важно понимать степень этой чувствительности. В финансах для этого используются производные:
- Дюрация (Duration): первая производная цены по доходности, масштабированная на цену . Она показывает, на сколько процентов изменится цена облигации при изменении доходности на 1% .
- Выпуклость (Convexity): вторая производная, которая учитывает нелинейный характер изменения цены .
Эти показатели являются важнейшими мерами риска для любого портфеля облигаций. В будущем лектор планирует вернуться к этим темам, а также обсудить более сложные инструменты, такие как форвардные ставки и свопы .
