Профессор Кемпторн: «Стандартные модели волатильности часто ошибаются в экстремальных условиях»

В лекции MIT OpenCourseWare профессор Питер Кемпторн (Peter Kempthorne) представляет глубокий обзор методов моделирования волатильности — ключевого параметра в современных финансах для оценки рисков и стоимости опционов. Исследование охватывает путь от классического геометрического броуновского движения до сложных авторегрессионных моделей, учитывающих «тяжелые хвосты» и временную динамику рыночных колебаний.

📈 Определение и основы измерения волатильности 0:00

Волатильность в самом базовом определении представляет собой годовое стандартное отклонение изменения цены или стоимости финансового актива . Этот показатель критически важен для измерения риска и оценки производных финансовых инструментов.

Одной из фундаментальных концепций является «аннуализация» (приведение к годовому исчислению). Чтобы перевести ежедневную волатильность в годовую, используется коэффициент, равный квадратному корню из количества торговых дней в году (обычно 252) . Профессор Кемпторн подчеркивает, что такая стандартизация позволяет сравнивать волатильность инструментов с разными сроками погашения в едином масштабе .

Существует несколько подходов к оценке:

• Историческая волатильность: расчет на основе фактических прошлых цен без использования вероятностных моделей .
• Геометрическое броуновское движение (GBM): модель с постоянной волатильностью, где приращения цены логнормальны .
• Модели с прыжками (Poisson jump diffusion): расширение GBM, учитывающее внезапные резкие изменения цен .
• Динамические модели (ARCH/GARCH): учитывают зависимость волатильности от времени .
• Стохастическая волатильность: например, модель Хестона, где сама волатильность является случайным процессом .
• Подразумеваемая (implied) волатильность: извлекается из текущих рыночных цен опционов .

📊 Исторические данные и фактор затухания 4:19

При работе с историческими рядами цен наиболее удобным инструментом являются логарифмические доходности (log returns). В отличие от простых процентных изменений, логарифмические доходности обладают свойством аддитивности: совокупное изменение за несколько периодов равно сумме доходностей за каждый период .

Профессор Кемпторн отмечает, что простая скользящая средняя за последние $m$ дней может быть неэффективной, так как она придает одинаковый вес как вчерашним событиям, так и событиям месячной давности . Более совершенным методом является экспоненциальное взвешенное скользящее среднее (EWMA).

В 1990-х годах компания JP Morgan популяризировала этот подход в своем техническом документе RiskMetrics . По словам Кемпторна, который в то время сотрудничал с исследовательским центром Sloan School, спонсируемым JP Morgan, ключевым параметром здесь является коэффициент затухания (decay factor). Исследования показали следующее:

• Для большинства активов (валюты, индексы акций) коэффициент затухания составляет более 0.9, часто около 0.94–0.95 .
• Высокое значение коэффициента говорит о том, что волатильность меняется во времени медленно .
• Выбор таких факторов основывался на минимизации среднеквадратичной ошибки прогноза .

🧬 Прецизионные оценки: методы Гармана-Класса и Ян-Чжана 18:32

Стандартный метод оценки волатильности использует только цены закрытия (close-to-close). Однако это игнорирует огромный пласт информации, доступный внутри торгового дня. Профессор представляет оценщик Гармана-Класса, который задействует цены открытия, закрытия, максимума и минимума (OHLC) .

Математическая эффективность различных методов оценки существенно различается:

• Close-to-close: принимается за базовую единицу (эффективность 1.0) .
• Метод Паркинсона: использует только High и Low, его эффективность составляет 5.2 . Это означает, что для достижения той же точности, что и у стандартного метода, Паркинсону требуется в 5 раз меньше данных .
• Метод Гармана-Класса: объединяет OHLC данные, достигая эффективности 6.2 .
• Композитный оценщик: может достигать эффективности 8.4 .

На сегодняшний день, как утверждает Кемпторн, наиболее предпочтительным является метод Ян-Чжана (Yang-Zhang) . Его главное преимущество заключается в независимости от дрейфа (drift-independent), что делает его более устойчивым к направленным движениям рынка .

💻 Практический анализ в среде R: S&P 500 против ARKK 32:35

В рамках практического кейса профессор демонстрирует анализ индекса S&P 500 и фонда Кэти Вуд ARKK с использованием языка R и пакета FPP2 . Визуализация реализованной волатильности S&P 500 показывает характерные всплески, например, во время пандемии COVID-19, когда волатильность кратно превысила привычные уровни в 12–15% .

Для прогнозирования используются модели ARIMA (авторегрессионное интегрированное скользящее среднее). Кемпторн выделяет несколько нюансов:

• Автоматизация: функция auto.arima подбирает оптимальные параметры модели на основе скорректированного информационного критерия Акаике (AICC) .
• Эффект окна: при расчете волатильности в 21-дневном скользящем окне в автокорреляционной функции остатков часто возникает значительный всплеск на 21-м лаге . Это связано с тем, что данные входят в расчетное окно и выходят из него.
• Сезонная ARIMA (SARIMA): применение сезонных параметров с периодом 21 позволяет эффективно устранить эти артефакты и получить остатки, близкие к «белому шуму» .

📉 Тяжелые хвосты и распределение Лапласа 1:03:32

Классические финансовые модели часто опираются на нормальное (Гауссово) распределение доходностей. Однако реальные рыночные данные демонстрируют более «острые» пики и «тяжелые» хвосты (куртозис). Профессор Кемпторн предлагает использовать распределение Лапласа как более адекватную альтернативу .

Основные аргументы в пользу этого подхода:

1. Распределение Лапласа (двустороннее экспоненциальное) гораздо лучше описывает данные по S&P 500 за длительные периоды, чем колоколообразная кривая Гаусса .
2. Q-Q плоты (квантиль-квантиль) наглядно показывают, что точки данных лежат почти на идеальной прямой для модели Лапласа, в то время как Гауссова модель систематически ошибается в экстремальных значениях .
3. Математически доходности следуют распределению Лапласа, если приращения времени в броуновском движении сами являются случайными величинами с экспоненциальным распределением .

⚡ Модели ARCH и GARCH: прорыв Роберта Энгла 1:08:29

Завершающая часть лекции посвящена моделям ARCH (авторегрессионная условная гетероскедастичность), за которые Роберт Энгл получил Нобелевскую премию. Суть модели в том, что текущая волатильность зависит от квадратов прошлых ошибок (доходностей) .

Тим Боллерслев позже расширил эту концепцию до GARCH, добавив в уравнение лаги самой волатильности . Кемпторн отмечает удивительную практическую особенность: модель GARCH(1,1) — самая простая версия с минимумом параметров — чаще всего оказывается наилучшей при эмпирической проверке .

Важные выводы по динамическим моделям:

• Кластеризация волатильности: модели ARCH/GARCH математически подтверждают эффект, когда за периодами высокой волатильности следуют периоды высокой волатильности, и наоборот .
• T-распределение: использование t-распределения Стьюдента в качестве распределения ошибок в моделях GARCH дает еще более точные результаты, чем стандартное нормальное распределение .
• Девять степеней свободы: по мнению профессора, оптимальное количество степеней свободы для t-распределения в финансовых рядах часто составляет около 9, что может быть связано с периодами стабильности волатильности .